Re: [obm-l] Conicas e Latus Rectum

["Eduardo Wagner" <wagner@xxxxxxx>]

>

> Como mostrar que a menor corda focal de uma elipse eh sempre perpendicular
> ao eixo maior?
>
Vamos la.
Ponha a elipse nos eixos na posicao canonica: centrada na origem e com o
eixo maior sobre o eixo X. Sejam: a 0 semi eixo maior, b o menor F = (c, 0)
o foco da direita e,  e = c/a, a excentricidade. Seja P = (x, y) um ponto
qualquer da elipse.
Usando a definição de elipse, PF + PF' = 2a, mostre que PF = a - ex.
Seja PF = r e seja ainda t o angulo XFP.
Tem-se entao a partir da relacao anterior:
r = a - e(c + rcost), o que da
r = (b^2)/(a (1 - e.cost)).
Logo, r = PF sera minimo quando t = 90 graus.

Abraco,

Wagner.


> Esse problema me persegue ha bastante tempo ... qdo eu era aluno no 2o
> grau, li em algum lugar essa propriedade... q dentre todas as cordas da
> elipse passando por um determinado foco, aquela q fosse perpendicular ao
> eixo maior tinha comprimento minimo.. parece q existem resultados analogos
> para as outras conicas.. Eu nao lembro aonde li isso, mas nunca encontrei a
> demonstracao. e agora eu precisei demonstrar isso e nao consegui. se alguem
> puder ajudar, agradeco!! (tentei inicialmente colocar o comprimento da
> corda em funcao do angulo x com a horizontal, e depois analisar a funcao
> f(tan(x)).. a expressao era um pouco grande (4 fracoes racionais de grau <=
> 2, duas delas ao quadrado) mas nao oobtive sucesso...
>
> Obrigado,
> Marcio
>
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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