Re: [obm-l] Raizes cubicas (e n-ésimas) em P.A.

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

A solução do Ralph pode ser perfeitamente adaptada
para o problema de haver três raízes cúbicas em uma PA
(não necessariamente três termos consecutivos).

Vou, inclusive, aproveitar o email dele:

--- Ralph Teixeira <RALPH@fgv.br> wrote:

> 	Problema: Mostre que, se a, b e c são primos entre
si (não todos cubos perfeitos), então suas raízes
cúbicas não estão em P.A.

> 	Solução: Suponha que, de fato, que as raizes
cubicas (vou chama-las de x, y e z repectivamente)
estao em P.A.:

> 2y=x+z

---> Aqui, em vez de 2y = x + z, considere

y = qx + rz, onde q e r são racionais (se x, y e z
estão em PA, então existem esses racionais).

Agora, elevando ao cubo:

y^3=q^3x^3+r^3z^3+3qxrz(ax+bz)=q^3x^3+r^3z^3+3qrxzy
<=> b = q^3*a + r^3*c + 3qrxyz
<=> [(b - q^3*a - r^3*c)/(3qr)]^3=abc

Repetindo o argumento do Ralph:

> 	Como o lado esquerdo é um "racional ao cubo" e o
lado direito é um inteiro, concluímos que ambos são um
cubo perfeito. Como a,b e c são primos entre si e abc
é cubo perfeito, cada um deles (a,b e c) tem de ser
cubo perfeito, contradizendo o enunciado.

---> Agora, vou tentar (não sei se vai dar certo) para
o caso das raízes n-ésimas: vou usar a mesma notação
acima, sendo x^n = a, y^n = b e z^n = c, a, b e c
primos dois a dois, nenhum deles n-ésima potência
perfeita. Suponha, por absurdo, que existem racionais
q e r tais que
    y = qx + rz
<=> 1 = q(x/y) + r(z/y) (*)

Sejam S = q(x/y) + r(z/y) e P = q(x/y)*r(z/y) =
qr(xz/y^2). Veja que x/y e z/y são raízes n-ésimas de
racionais e P também, pois x, y e z são primos dois a
dois. Elevando a n, obtemos um polinômio em S e P, com
coeficientes racionais. Como sei disso? Sejam t =
q(x/y) e u = r(z/y). Podemos calcular S(k) = t^k +
u^k, k natural, da seguinte forma:

|t^2 = St - P => |t^(m+2) = St^(m+1) - Pt^m
|u^2 = Su - P    |u^(m+2) = Su^(m+1) - Pu^m
=> (t^(m+2)+u^(m+2)) = S(t^(m+1)+u^(m+1)) - P(t^m+u^m)
<=> S(m+2) = S*S(m+1) - P*S(m)

Como S(0) = 2 e S(1) = S, indutivamente temos que S(n)
é um polinômio em S e P, com coeficientes inteiros.
Mas S(n) = [q(x/y)]^n + [r(z/y)]^n = q^n(a/b) +
r^n(c/b) é racional. Logo ao elevarmos os dois lados
de (*) a n obtemos uma equação em S e P. Substituindo
S = 1, temos uma equação polinomial em P, de grau no
máximo n/2 (Veja que se k > n/2, P^k = (tu)^k seria o
produto de k t's e k u's, totalizando 2k > n fatores,
o que não é possível pois há no máximo n fatores). Mas
P = qr(xz/y^2) é um número algébrico de grau n (a, b e
c são primos dois a dois), contradição.

Não sei se o que fiz está certo... Talvez eu esteja
viajando forte, agora são 20 para a meia-noite e estou
bem cansado...

[]'s
Shine

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