Re: [obm-l] Raizes cubicas em P.A.

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Prof Ralph,

>	Que tal?

Em minha opiniao, muito bom ! As restricoes em relacao ao problema original 
que nos estavamos discutindo sao :

1) No problema original as raizes sao N-esimas. O Sr restringiu a raizes 
cubicas.

2) No problemas original as raizes N-esimas devem ser termos de uma mesma 
PA. O Sr restringiu a TERMOS CONSECUTIVOS de uma mesma PA.

Bom, mas e evidentemente melhor dar pequenos passos viaveis, um por vez, que 
querer dar um grande passo inviavel de uma vez ...

Que tal considerar agora o problema :

>	Problema: Mostre que, se a, b e c são primos entre si (não todos
>cubos perfeitos), então suas raízes cúbicas não estão em UMA P.A.

Um Abracao
Paulo Santa Rita
5,1916,230502




>From: Ralph Teixeira <RALPH@fgv.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Raizes cubicas em P.A.
>Date: Thu, 23 May 2002 18:21:12 -0300
>
>
>	Problema: Mostre que, se a, b e c são primos entre si (não todos
>cubos perfeitos), então suas raízes cúbicas não estão em P.A.
>
>	Solução: Suponha que, de fato, que as raizes cubicas (vou chama-las
>de x, y e z repectivamente) estao em P.A.:
>
>2y=x+z
>
>	Entao:
>
>8y^3=x^3+z^3+3xz(x+z)=x^3+z^3+3xz(2y)
>(8b-a-c)/6 = xyz
>[(8b-a-c)/6]^3=abc
>
>	Como o lado esquerdo é um "racional ao cubo" e o lado direito é um
>inteiro, concluímos que ambos são um cubo perfeito. Como a,b e c são primos
>entre si e abc é cubo perfeito, cada um deles (a,b e c) tem de ser cubo
>perfeito, contradizendo o enunciado.
>
>	Abraço,
>		Ralph
>
>	Que tal?
>
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