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Considere o podlinômio P(x) = x^7 - 1,
que possui as 7 seguintes raízes complexas:
z(k) = cos (2.k.pi/7) + i.sen
(2.k.pi/7), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Como o coeficiente de x^6 em P(x) é 0 então a
soma das raízes de P(x) é 0, implicando que:
cos 0 + cos (2.pi/7) + cos (4.pi/7) + cos (6.pi/7)
+ cos (8.pi/7) + cos (10.pi/7) + cos (12.pi/7) = 0
Como 2.pi/7 + 12.pi/7 = 2.pi
=> cos (12.pi/7) = cos (2.pi/7)
Como 4.pi/7 + 10.pi/7 = 2.pi
=> cos (10.pi/7) = cos (4.pi/7) = - cos (3.pi/7)
Como 6.pi/7 + 8.pi/7 = 2.pi =>
cos (8.pi/7) = cos (6.pi/7) = - cos
(pi/7) Portanto:
1 + cos (2.pi/7) - cos (3.pi/7) - cos (pi/7) -
cos (pi/7) - cos (3.pi/7) + cos (2.pi/7) = 0 =>
cos (pi/7) - cos (2.pi/7) + cos (3.pi/7) =
1/2
Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira
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