Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Felipe,
tudo legal ?

Nao ha do que agradecer ! Muitas outras pessoas aqui na lista tambem tem 
SENTIMENTOS EDUCADOS, de forma que nao raro voce as vera sendo uteis 
respondendo a uma questao simples com a mesma naturalidade com que 
demonstram brilhantismo intelectual solucionando um problema complicado.

Eu li em algum lugar um problema que pode ser resolvido por uma equacao do 2 
grau. Talvez voce queira propor a seus alunos de 8 serie :

Num tonel ha, a principio, 100 litros de agua. Enche-se um balde de 
capacidade K ( K litros ) com a agua deste tonel. A agua e jogada fora. O 
balde e entao cheio com vinho puro e, a seguir, o vinho contido no balde e 
despejado no tonel. O tonel volta a ter 100 litros, agora de mistura. 
Repete-se os 4 passos abaixo N vezes :

1) Enche-se o balde com a mistura que ha no tonel
2) O conteudo do balde e, entao, lancado fora.
3) O Balde e cheio com vinho puro
4) O conteudo do balde e despejado no tonel.

Terminada as operacoes, um quimico analisa o conteudo do tonel e descobre 
que ha 36 litros de agua e 64 litros de vinho puro. Qual a capacidade do 
balde, em funcao de N ?

Com os melhores votos
de paz profunda, sou

Paulo Santa Rita
6,1256,170502

>From: "Felipe Marinho" <piuwee@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
>Date: Thu, 16 May 2002 23:11:57 -0400
>
>Caro Paulo,
>
>Mais uma vez aqui, tento expressar toda minha gratidão para com todos os
>amigos aqui da lista, e especialmente.. à você.
>
>Paulo, na verdade, a questão era para ser explicada a alunos de 1o. grau
>mesmo (8a. série). Bem, é o seguinte, sou aluno de uma instituição pública
>de ensino do Estado do Amazonas (curso agora o 2o. grau)... porem, venho
>desde o começo do ano ajudando os alunos da 8a. série para se prepararem
>para as provas de Matemática do Colégio Naval. Nossas condições dentro da
>escola não são muito boas, e em muitas das vezes... nosso próprio professor
>desconhece determinado assunto. Por este motivo, tenho aqui na lista, a
>única saída para o esclarecimento de certas dúvidas. Muitas vezes, eu 
>mesmo,
>não consigo fazer certos exercícios que venho passando aos alunos... e
>quando isso ocorre, eu venho até a lista aqui, procurar alguma ajuda.
>
>E Paulo, mais uma vez, Obrigado mesmo por tudo. Sua ajuda, assim como a de
>todos, tem sido de grande importância para nossos alunos aqui do Amazonas. 
>E
>em nome de todos eles, venho aqui deixar um grande abraço a você, e a todos
>os demais amigos que dessa lista participam.
>
>Obrigado mesmo,
>
>Felipe Marinho
>
>>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
>>Date: Thu, 16 May 2002 14:51:09 +0000
>>
>>Ola Felipe, Guilherme e
>>demais colegas desta lista,
>>
>>Bom, isso deve ser um daqueles problemas que precisam ser explicados a
>>alunos do 1 grau, certo ? Dificil ! Vou tentar. Perdao se nao conseguir
>>atingir os objetivos !
>>
>>
>>Devemos encontrar "a" e "b" inteiros nao-negativos. Como
>>(10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3
>>posso FATORAR o segundo membro assim :
>>a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2)
>>colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica :
>>(10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2)
>>como a + b > 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir
>>tudo por a+b. Vai ficar :
>>
>>10a + b = a^2 - ab + b^2
>>
>>reduzindo os termos semelhantes
>>
>>a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0
>>
>>E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em "a". O Discriminante e :
>>
>>(10 - b)^2 - 4*(b^2 - b)
>>
>>Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0
>>
>>Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e
>>um quadrado perfeito e que implicam num  "a" inteiro positivo. Isso vai me
>>fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema.
>>
>>E ai Felipe ? Que tal ? Eu acho que so usei coisas que uma aluno serio do 
>>1
>>grau sabe ... ou nao ? Se errei, foi uma tentativa e a culpa 
>>exclusivamente
>>minha. Mas, se acertei, e porque sou um aluno aplicado do Jardim do Tio
>>Ralph.
>>
>>Um abracao
>>Paulo Santa Rita
>>5,1147,160502
>>
>>
>>
>>
>>
>>>From: "Felipe Marinho" <piuwee@hotmail.com>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
>>>Date: Thu, 16 May 2002 04:06:43 -0400
>>>
>>>Olá Guilherme,
>>>
>>>Obrigado pela sua ajuda.
>>>
>>>Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10
>>>números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99).
>>>Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova.
>>>
>>>O enunciado da questão deve ser entendido como:
>>>
>>>(10a+b)(a+b) = a³+b³   (Multiplicacao do número formado por a e b pela
>>>soma
>>>dos dígitos)
>>>
>>>Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma
>>>dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ].
>>>
>>>As opções dadas pelo problema é:
>>>a) 0
>>>b) 1
>>>c) 2
>>>d) 3
>>>e) 4
>>>
>>>Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a
>>>resposta do problema.
>>>
>>>Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a
>>>resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos
>>>da lista, para me dar uma ajuda... no que for possível, é claro.
>>>
>>>Agradeço desde já mais uma vez,
>>>Abraços
>>>
>>>Felipe Marinho
>>>
>>>>From: "Guilherme Pimentel" <guigous@uol.com.br>
>>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>>>Subject: RES: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
>>>>Date: Thu, 16 May 2002 03:53:27 -0300
>>>>
>>>>Para o primeiro note que, sendo ab o numero de dois digitos:
>>>>a*b*(a + b) = a^3 + b^3
>>>>e que
>>>>a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b)
>>>>logo
>>>>a*b*(a + b) = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b)
>>>>(a + b)^3 = 4a*b*(a + b)
>>>>supondo que a ou b sejam diferentes de zero:
>>>>(a + b)^2 = 4a*b
>>>>(a - b)^2 = 0
>>>>ou seja
>>>>a = b
>>>>agora vc conta quantos são...
>>>>
>>>>-----Mensagem original-----
>>>>De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>>>>[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Felipe Marinho
>>>>Enviada em: quinta-feira, 16 de maio de 2002 02:37
>>>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>>Assunto: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
>>>>
>>>>
>>>>Olá pessoal da lista,
>>>>
>>>>Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas.
>>>>Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu
>>>>realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma
>>>>vez.
>>>>
>>>>1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação
>>>>deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos.
>>>>Quantos e quais são esses números ?
>>>>
>>>>2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas.
>>>>Se
>>>>uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola
>>>>numerada
>>>>com um múltiplo de n. No mínimo quantas caixas serão precisas para
>>>>guardar
>>>>as bolas, considerando todas as possibilidades possíveis ?
>>>>
>>>>Pessoal, agradeço desde já qualquer tipo de ajuda.
>>>>
>>>>E com um grande abraço a todos,
>>>>vou fechando mais este e-mail.
>>>>
>>>>Felipe Marinho
>>>>
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