[obm-l] Re: [obm-l] Analisem isto, se possível.

[peterdirichlet@xxxxxxxxxxxxxx]

ANSWER:Bem cara,resolvi isso por Chebychev:se as sequencias reais positivas
a(i) e b(i) sao tais que a(i)>a(j) se e e so se  b(i)>b(j),entao a MA dos
produtos a(i)*b(n-i) a(i) vezes a MA dos a(j) nao e maior que a MA dos produtos
a(i)*b(i).Na pratica
supondo a>=b>=c,por simetria,entao a/(b+c)-b/(c+a)=(ac+aa-bb-cb)/(b+c)(c+a)=(a-b)c+(a-b)(a+b)/(b+c)(c+a)>=0.LOGO:a/(b+c)>=b/(c+a)>=c/(a+b)
e b+c<=c+a<=a+b.Chebychev,P/3*(b+c+c+a+a+b)/3>=(a+b+c)/3.E pronto!!!!!!
Falouzes!!!!Peterdirichlet.

-- Mensagem original --

>Olá mais uma vez amigos da lista,
>
>Um grande abraço especial para o Paulo, Tiago e Ralph... que me ajudaram
>na
>questão da desigualdade. A ajuda de você foi de grande importância aqui
para
>
>mim.
>
>Agora é o seguinte, peço que vocês analisem a minha resolução para um tal
>
>exercício... se tiver algum erro, ou alguma outra solução mais rápida e

>inteligente... gostaria que vocês me indicassem.
>
>Lá vai:
>
>Seja a, b e c números reais positivos, provar que:
>P = a/(b+c) + b/(a+c) + c(a+b) >= 3/2
>
>----Resolução----
>De MA >= MG, temos:
>
>[a/(b+c) + b(a+c) + c(a+b)] /3 >= [abc/(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)
>
>Como P = a/(b+c) + b/(a+c) + c(a+b), temos:
>
>P >= 3[abc/(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)                        (I)
>
>(a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3)                                   (II)
>
>[(b+c) + (a+c) + (a+b)]/3 >= [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)
>[2(a+b+c)]/3 >= [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)                  (III)
>
>Multiplicando (II) por 2, temos:
>
>2(a+b+c)/3 >= 2(abc)^(1/3)                                    (IV)
>
>Analisando (III) e (IV), temos:
>
>2(a+b+c)/3 >= [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)
>2(a+b+c)/3 >= 2(abc)^(1/3)
>
>-----
>Bem, até aí, sem problemas, porem aqui começa a minha dúvida. Para finalizar
>
>o exercício, o único passo que consegui dar, foi achar uma igualdade entre
>
>as 2 expressões do lado direito das 2 desigualdades.
>
>Basei-me no fato de que, se 2(a+b+c)/3 é maior ou igual a
>[(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3) e tambem 2(a+b+c)/3 é maior ou igual a
>2(abc)^(1/3) é porque [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3) = 2(abc)^(1/3).
>
>Baseando-se nesta igualdade, fica fácil provar que P >= 3/2, pois:
>
>Como P >= 3[abc/(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3), teríamos:
>
>P >= 3(abc)^(1/3) x [(1/(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)
>E substituindo os valores achados, teríamos:
>
>P>= [3(abc)^(1/3)] / [2(abc)^(1/3)]
>e cancelando o termo em (abc)^(1/3), temos:
>P>= 3/2 (cqd)
>
>-----FIM------
>
>Bem pessoal, a questão é essa aí. Foi a única maneira que achei para
>resolvê-la. Desculpe se não a resolvi usando algo melhor. Porem, a minha
>
>pergunta aqui, é a seguinte: Essa igualdade que eu achei entre as 2
>expressões, eu realmente poderia afirmar isto ? Eu errei em algum
>procedimento tomado para solucionar o problema ? Existe algum método mais
>
>rápido ou inteligente ?
>
>Obrigado desde já,
>Conto com a ajudade de vocês mais uma vez.
>Um grande abraço a todos os amigos,
>
>Felipe Marinho
>
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