[obm-l] Analisem isto, se possível.

["Felipe Marinho" <piuwee@xxxxxxxxxxx>]

Olá mais uma vez amigos da lista,

Um grande abraço especial para o Paulo, Tiago e Ralph... que me ajudaram na 
questão da desigualdade. A ajuda de você foi de grande importância aqui para 
mim.

Agora é o seguinte, peço que vocês analisem a minha resolução para um tal 
exercício... se tiver algum erro, ou alguma outra solução mais rápida e 
inteligente... gostaria que vocês me indicassem.

Lá vai:

Seja a, b e c números reais positivos, provar que:
P = a/(b+c) + b/(a+c) + c(a+b) >= 3/2

----Resolução----
De MA >= MG, temos:

[a/(b+c) + b(a+c) + c(a+b)] /3 >= [abc/(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)

Como P = a/(b+c) + b/(a+c) + c(a+b), temos:

P >= 3[abc/(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)                        (I)

(a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3)                                   (II)

[(b+c) + (a+c) + (a+b)]/3 >= [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)
[2(a+b+c)]/3 >= [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)                  (III)

Multiplicando (II) por 2, temos:

2(a+b+c)/3 >= 2(abc)^(1/3)                                    (IV)

Analisando (III) e (IV), temos:

2(a+b+c)/3 >= [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)
2(a+b+c)/3 >= 2(abc)^(1/3)

-----
Bem, até aí, sem problemas, porem aqui começa a minha dúvida. Para finalizar 
o exercício, o único passo que consegui dar, foi achar uma igualdade entre 
as 2 expressões do lado direito das 2 desigualdades.

Basei-me no fato de que, se 2(a+b+c)/3 é maior ou igual a 
[(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3) e tambem 2(a+b+c)/3 é maior ou igual a 
2(abc)^(1/3) é porque [(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3) = 2(abc)^(1/3).

Baseando-se nesta igualdade, fica fácil provar que P >= 3/2, pois:

Como P >= 3[abc/(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3), teríamos:

P >= 3(abc)^(1/3) x [(1/(b+c).(a+c).(a+b)]^(1/3)
E substituindo os valores achados, teríamos:

P>= [3(abc)^(1/3)] / [2(abc)^(1/3)]
e cancelando o termo em (abc)^(1/3), temos:
P>= 3/2 (cqd)

-----FIM------

Bem pessoal, a questão é essa aí. Foi a única maneira que achei para 
resolvê-la. Desculpe se não a resolvi usando algo melhor. Porem, a minha 
pergunta aqui, é a seguinte: Essa igualdade que eu achei entre as 2 
expressões, eu realmente poderia afirmar isto ? Eu errei em algum 
procedimento tomado para solucionar o problema ? Existe algum método mais 
rápido ou inteligente ?

Obrigado desde já,
Conto com a ajudade de vocês mais uma vez.
Um grande abraço a todos os amigos,

Felipe Marinho

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