[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas

["Adriano Almeida Faustino" <adriano_n@xxxxxxxxxxx>]

(IME-2001)
a)sendo a e b reais positivos temos que :
(a^(1/2)-b(^1/2))^2 >= 0
temos que a+b >= 2(ab)^(1/2)
fazendo a = (c+d)/2   , b= (e+f)/2

(c+d+e+f)/4 >= ( (c+d)/2 *(e+f)/2 )^(1/2)

utilizando a desigualdade entre as médias provada no começo:
(c+d+f+e)/4 >= (cdef)^(1/4)

fazendo um termo qualquer como a média arit. dos outros  temos  que:
( (c+d+e)+ (c+d+e)/3 )/4 >= ( cde(c+d+e)/3 )~(1/4)

(c+d+e)/3 >= ( cde(c+d+e)/3 )^(1/4)
elevando a quarta pot. e simplificando nos dois lados temos:

(c+d+e)/3 >= (cde)^(1/3)

b)comoS = 2(ab+bc+ac), fazendo x=ab ,y=ac, z=bc  temos:
(ab+ac+bc)/3 >= ( (ab)(ac)(bc) )^(1/3)

S/6 >= ( (abc)^2) ^(1/3)
S/6 >= ( V^2 ) ^(1/3)
V =< S/6 ( (S/6)^(1/2) )
então o valor máximo de V é igual a S/6 ( (S/6) ^(1/2) )
o que implica que a média arit. é igual a média geom.
então a=b=c
ou seja o paral. é um cubo.
Adriano
>From: "rafaelc.l" <rafaelc.l@bol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] dúvidas
>Date: Fri,  3 May 2002 15:31:10 -0300
>
>
>(IME-96)Determine o termo máximo do desenvolvimento da
>expressão:
>             (1+1/3)^65
>
>
>
>(IME-2001) a) Sejam x,y,z números reais positivos, prove
>que:
>             x+y+z/3 maior ou igual a (x.y.z)^1/3
>
>Em que condições a igualdade se verifica?
>
>  b) Seja um paralelepípedo de lados a,b e c e área total
>S.Ache o volume máximo desse paralelepípedo em função de
>S. Qual a relação entre a, b e c para que esse volume
>seja máximo? demonstre seus resultados.
>
>
>OBS: ponham o maior número de soluções possíveis.
>
>
>                            Obrigado
>
>
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