Re: [obm-l] Algumas da Iberoamericana.SEGUNDO PROBLEMA PARA A LISTA

["Eduardo Azevedo" <eduardo_az@xxxxxxxxxxxxx>]

2)

Bom, como 11|11 e 11|77, acho que o problema quis dizer maior ou igual a 11.

De fato B termina em um impar diferente de 5, logo nao tem fator 2 nem 5.

Sobraram 3 e 7, e o Bruno cantou certinho:

i) 21^k = (20 +1)^k= ..... + 20k + 1, logo termina em 1 e tem o algarismo
das dezenas par.

ii)Podemos provar que as potencias de 7 tem o algarismo das dezenas par:

As potencias de 7 terminam em 1, 3 ,9 ou 7.
Supondo, por inducao que 7^n tem a dezena par, 7^n+1=7*7^n terá dezena par,
pois na multiplicacao, ou vai 0 ou vai 2 ou vai 6.

iii)Analogamente 3 tem dezena par.

iv)supondo B=3^x * 7^y = 21^m * (3^n) ou 21^m * (7^n). Logo tem dezena par.
Contradicao.



----- Original Message -----
From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, April 30, 2002 8:52 PM
Subject: Re: [obm-l] Algumas da Iberoamericana.SEGUNDO PROBLEMA PARA A LISTA


> At 17:07 30/04/02 -0300, you wrote:
> >Ah.turma,to com a prova da Iberoamericana aquoi na mao,e tenho problemas
> >serios neles.Ai vai!!!
> >1.Temos 98 pontos sobre uma circunferencia.Maria e Jose fazem um jogo
> >assim:cada
> >um deles traça uma corda ligando dois dos pontos dados que nao tenham
sido
> >ligados entre si antes.O jogo acaba quandoos 98 pontos forem usados como
> >extremos de segmentos pelo menos 1 vez.Quem fizer o ultimo traço
ganha.Defina
> >uma estrategia vencedora se ela existir.
> >2.B e um inteiro maior que 10 que so tem 1,3,7,9 como digitos
decimais.Prove
> >que B tem um fator primo maior que 11.(o que consegui chegar foi nisso:se
> >p>11 acarretasse B/p nao inteiro,entao os unicos fatores primos de B sao
> >3 e 7.Oras,5 nao pode,ja que 5*K==0 ou 5(mod 10).E 2 tambem nao,ja que
> >2*k==0,2,4,6,8
> >(mod 10).
>
> Já resolvi este problema uma vez (faz tempo) e, pelo que me lembro, vc
> supoe que os unicos primos que dividem B são 3 e 7, logo B=3^a 7^b. Aí
> (tomara que seja isso mesmo) vc prova que todo numero
> da forma 3^a 7^b e maior que 10 tem o digito das dezenas par!
>
> Bruno Leite
> http://www.ime.usp.br/~brleite
>
>
> >Problema:seja ABC um triangulo de incentro I.Nele se desenha o
circuncirculo
> >de BIC.Ache o ponto I sabendo desse circuncirculo
> >e do ABC usando uma regua lisa.
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