[obm-l] Re:

[André <araujoime@xxxxxxxxx>]

> -- Mensagem original --
>
> >3)Se x+y+z=1, comx,y,z positivos, mostre que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27.

Solucao:

Podemos supor z<= 1/2 (se z > 1/2 então x<=1/2 ou y<=1/2). Temos
yz+zx+xy-2xyz = z(x+y)+xy(1-2z). Como z>=0, x+y>=0, xy>=0 e 1-2z>=0,
concluimos que 0=<xy+yz+zx-2xyz (*).
Por outro lado, (x-y)^2>=0  <=> x^2+y^2>=2xy <=> (x+y)^2>=4xy <=>
(1/4)(x+y)^2>=xy, como x+y=1-z, temos (1/4)(1-z)^2>=xy. Assim
z(x+y)+xy(1-2z) -7/27 <= z(1-z)+(1/4)(1-z)^2 (1-2z) - 7/27 = [-(3z-1)^2
(6z+1)]/108<=0  Assim xy+yz+zx-2xyz<=7/27(**). De (*) e (**):
0=<xy+yz+zx-2xyz<=7/27.


> >4)(CMO-1997) Prove que
> >1/1999<1/2*3/4*5/6*.....*1997/1998<1/44.
> >  Se alguem fizer algum ou todos( risos ), eu agradeço!
> >                     Crom
> >
> >(CMO-1996)
> >Seja n um número natural tal que n>=2. Mostre que :
> >1/(n+1)*( 1+1/3+....+1/(2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+...+1/2n).
> >2) se x,y,z são números postivos, mostre que
> >x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2>=y/x+z/y+x/z.
> >3)Se x+y+z=1, comx,y,z positivos, mostre que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27.
> >4)(CMO-1997) Prove que
> >1/1999<1/2*3/4*5/6*.....*1997/1998<1/44.
> >  Se alguem fizer algum ou todos( risos ), eu agradeço!
> >                     Crom
> >
> >(CMO-1996)
> >Seja n um número natural tal que n>=2. Mostre que :
> >1/(n+1)*( 1+1/3+....+1/(2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+...+1/2n).
> >2) se x,y,z são números postivos, mostre que
> >x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2>=y/x+z/y+x/z.
> >3)Se x+y+z=1, comx,y,z positivos, mostre que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27.
> >4)(CMO-1997) Prove que
> >1/1999<1/2*3/4*5/6*.....*1997/1998<1/44.
> >  Se alguem fizer algum ou todos( risos ), eu agradeço!
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