Re: [obm-l] Re:JP e a todos. (extensão)

[Alexandre Tessarollo <tessa@xxxxxxxxxxxx>]

    Extendendo o desafio do seu professor, ligue os pontos D, M e N da figura
do Rafael. Todos os triângulos 1, 2 e 3 de antes foram dividos em duas partes,
sendo uma "mais interna" visivelmente menor e outra "mais externa"
visivelmente maior. Quero o seguinte:
1) Prove que as áreas dos triângulos maiores ("mais externos") são iguais
entre si;
2) idem para os menores ("mais internos");
3) Se a área de um "menor" for X, qual a área de um "maior"?

[]'s

Alexandre Tessarollo

Rafael WC wrote:

> > 1-Prove que em um triângulo qualquer , suas medianas
> > o divide em outros
> > 6 triângulos  de mesma área.
>
> Olá Rick!
>
> Espero que a figura siga junto...
>
> Nessa figura, coloquei os números em alguns triângulos
> para identificarmos algumas áreas. Repare que coloquei
> o número 1 nos triângulos BDE, BDG e CDG. Você pode
> ver que a área dos triângulo BDG e CDG são iguais,
> pois os dois triângulos têm a mesma base (BD = DC) e
> os dois têm a mesma altura (distância do ponto G até o
> lado BC).
>
> Feito isso, também podemos concluir a mesma coisa com
> relação aos triângulos AMG e CMG, pelo mesmo motivo,
> as bases são iguais e a altura é a mesma. Por isso,
> assinalei esses dois triângulos com o nº 2.
>
> E da mesma forma, temos que BGN e AGN têm a mesma
> área. E foram assinalados com o nº 3.
>
> Agora repare também que, o triângulo ADB tem a mesma
> área do triângulo ADC, pois ambos têm a mesma base e a
> mesma altura. Ou seja, cada um tem metade da área do
> triângulo ABC. Então vamos escrever essas áreas, em
> função dos números. Vou chamar as áreas que estão com
> o nº 1 de A1, as com o nº2 de A2 e as outras de A3:
> ADB = ADC
> BDG + BGN + GNA = DCG + CGM + GMA
> A1 + A3 + A3 = A1 + A2 + A2
> A3 + A3 = A2 + A2
> 2.A3 = 2.A2
> A3 = A2
>
> Agora podemos também ver que as áreas dos triângulos
> BMA e BMC são iguais, pois os dois têm a mesma base
> (MC = MA) e a mesma altura (distância do vértice B ao
> lado AC). Então escrevendo em função das áreas dos
> triângulos menores:
> BMA = BMC
> MAG + ANG + NGB = GCM + GCD + BGD
> A2 + A3 + A3 = A2 + A1 + A1
> A3 + A3 = A1 + A1
> 2.A3 = 2.A1
> A3 = A1
>
> Como A1 = A3 e A3 = A2, concluímos que:
> A1 = A2 = A3
>
> Então, as 6 áreas em que ficou dividido o triângulo
> ABC são todas iguais e equivalem a 1/6 da área total
> do triângulo ABC cada uma.
>
> > Um abraço..
> > Rick Barbosa====
> >
> Outro,
>
> Rafael.
>
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