[obm-l] Re: [obm-l] duvidas fatoração

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Acho que não é bem assim...

= (x^2+y^2-z^2)^2 -(2xy)^2 = [ (x+y)^2 -z^2 ] * [ (x-y)^2 - z^2 ]
= -(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z) ok, até aqui tá igual. Mas vc usou o fato
de x, y, z serem positivos, o que não é dado...
Sejam P=x+y+z, Q= -x+y+z, R=x-y+z e S=x+y-z. Daí, A=-PQRS.
É fácil ver que P==Q==R==S (mod2), logo têm a mesma paridade. Se forem todos
ímpares, A será ímpar, portanto diferente de 2000. Então P, Q, R e S são
pares.
2000 = (2^4)*5^3 ou seja, temos 4 fatores 2 e 3 fatores 5 para distribuir
entre P,Q, R e S. Os fatores 2 já estão distribuídos. Como são 4 caras e 3
cincos, alguém fica sem nenhum 5, ou seja, é igual a +-2.
P+Q+R+S = -2(x+y+z)
As fatorações possíveis são ( a menos da ordem e do sinal de cada fator ) :
2*2*2*250, 2*2*10*50, 2*10*10*10.
Vemos que em todos os casos a soma não é múltipla de 5 ( independente dos
sinais dos fatores ), então x+y+z = +-2.
Se x+y+z = 2, A= -2(2-2z)(2-2y)(2-2x) = 16*(z-1)(y-1)(x-1). Mas agora é
fácil, pois as únicas possibilidades são 16*1*1*125, 16*1*5*25 e 16*5*5*5
 a menos da ordem e dos sinais ). Como (x-1)+(y-1)+(z-1)= -1, temos que a
terceira possibilidade é ímpossível, pois para qq escolha de sinais a soma é
múltipla de 5, logo não é -1. Na segunda possibilidade, temos
obrigatoriamente um fator -1, mas isso quer dizer que um dos x, y, z é zero.
Suponha sem perdas que seja x. Daí, A = y^4+z^4-2(yz)^2 = (y^2-z^2)^2, que é
quadrado, logo não pode ser 2000. E para a primeira possibilidade, é fácil
ver que a soma de 1, 1 e 125 ( podendo mudar o sinal), só pode ser 2,0,-2
mod5, logo não é -1. Então o caso x+y+z = 2 está esgotado.
Se x+y+z = -2, então A = 2(-2-2x)(-2-2y)(-2-2z) = -16(x+1)(y+1)(z+1). É bem
parecido com o caso anterior. As possibilidades são as mesmas que as do caso
anterior, no entanto, devemos ter obrigatoriamente álguem negativo. Assim,
esgotando todos os casos, terminamos a prova.
Ainda espero que tenha uma forma mais rápida de fazer isso, pq há um tempo
eu tinha pensado nesse problema e consegui fazê-lo mais rapidamente... qq
coisa, ou erro, avisem.
Abraços,
 Villard
-----Mensagem original-----
De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 23 de Abril de 2002 10:20
Assunto: Re: [obm-l] duvidas fatoração


>
>1.Fatore a expressão A=x^4 +y^4 +z^4 -2(x^2)(y^2) -2(y^2)(z^2) -
>-2(z^2)(x^2) e mostre que a equação A=2000 não possui solução
>inteira.
>A=(x^2-y^2-z^2)^2 -4y^2z^2
>A=(x^2-y^2-z^2-2yz)(x^2-y^2-z^2+2yz)
>A=(x^2-(y+z)^2)(x^2-(y-z)^2)
>A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z)
>Por desigualdade triangular, dah pra ver que este numero sempre eh
negativo,
>logo A<0, para x y z positivos. Acho que eh por isso que naum tem solucao
>pra 2000
>falow.
>marcelo
>
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