Re: [obm-l] Teorema de Dirichlet

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Apr 18, 2002 at 11:02:36PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote:
> 
> From: "Ricardo Miranda" <ricardomirandabr@yahoo.com.br>
> > Alguem pode me mostrar a demonstração do Teorema de Dirichlet, que, se nao
> > me engano, diz que se numa PA, o primeiro termo e a razao sao primos,
> > existem infinitos primos dentre os elementos desta PA?
> >
> 
> Faltou uma coisa: eles sao "primos entre si" e nao primos.
> Pelo que ja li sobre o assunto a demonstracao eh bem sofistificada.
> 
> Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.

Correto, se o termo inicial e a razão são primos entre si há infinitos primos
na PA. Mais precisamente, dado n, considere as PAs

nk + 1, ..., nk + a, ... , nk + (n-1)

onde a assume todos os valores entre 1 e (n-1) que são primos com n.
Então (em um sentido preciso) o número de primos em cada uma destas
PAs é aproximadamente igual.

A demonstração que eu conheço usa variáveis complexas, está (por exemplo)
no livro de teoria dos números de Borevich-Shafarevich.

Dois casos que admitem demonstração trivial são que existem infinitos primos
das formas 4k + 3 e 6k + 5, ficam como exercício. Um caso mais difícil
mas ainda elementar é provar que existem infinitos primos da forma 4k + 1;
este fica como um problema um pouco mais difícil.  Na verdade mesmo a
demonstração de que para qualquer n fixo existem infinitos primos da forma
nk + 1 ainda é elementar.

[]s, N.

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