[obm-l] Re: Problemas diversos para declamar(by Shine,Anderson,ETAPA e cia.)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Apr 15, 2002 at 03:19:42PM -0300, peterdirichlet@mtv.com.br wrote:
> Agora o Saldanha nao tem desculpa!!!!!!!!!!!!
> 01)Para o JP:Se a>b>c>d>0 sao naturais com ac+bd=(b+d-a+c)(b+d-a+c)prove
> que ab+cd nao e primo.E que o bendito Tengan nao completou a resposta(ele
> usou os inteiros de Eisenstein para provar que ab+cd nao era
> "primo de Eisentein".Mas dai ele parou.E agora?

Fato:

O anel Z[w] é euclideano, onde w = exp(2 Pi i/3).
Os inversíveis em Z[w] são +-1, +-w, +-(1+w).

Os primos em Z[w] são:

2 + w (de módulo sqrt(3))
p (um primo inteiro, >1) da forma 3k+2 (de módulo p)
pares z, z' = conjugado(z), onde zz' = p um primo da forma 3k+1
 (de módulo sqrt(p))

Estes fatos eu não vou demonstrar. Vamos ao problema.

Reescreva 

  ac + bd = (b+d-a+c)(b+d+a-c)

  ac + bd = b^2 + 2bd + d^2 - a^2 + 2ac - c^2

  a^2 - ac + c^2 = b^2 + bd + d^2

Donde |a + cw| = |b - dw|

A condição a>c>0 garante que o argumento de a+cw entá entre 0 e Pi/3
(estritamente), a condição b>d>0 garante que o argumento de b-dw está
entre -Pi/6 e 0 (estritamente). Não podemos ter a+cw = conjugado(b-dw)
pois isto implicaria c=d; também não podemos ter a+cw = (1+w)(b-dw)
pois isto implicaria b=c.  Assim nas fatorações de a+cw e b-dw
há primos comuns e não comuns (conjugados). Assim,

   a+cw = rst
   b-dw = r'st'

onde r e r' são inversíveis, t e t' são um o conjugado do outro
e |s|, |t| > 1.

Assim (a+cw)(b-dw) = (ab+cd) + (-ad+bc+cd)w = rr's^2 (tt')

donde ab+cd é múltiplo de tt'.

[]s, N.
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