En: [obm-l] Teorema dos 5 cubos

["Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@xxxxxxxxxxxxx>]

Tente representar 23 ou 239 como a soma de menos de 9 cubos.

JF

-----Mensagem Original-----
De: marcelo oliveira <marcelo_rufino@hotmail.com>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 20:08
Assunto: Re: [obm-l] Teorema dos 5 cubos


> Já que ninguém se abilitou, aí vai:
>
> Mostre que qualquer número inteiro é a soma de 5 cubos.
>
> Demonstração:
>
> Observa-se que
> (k + 1)^3 - 2k^3 + (k - 1)^3 =
> = (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 = 6k.
> Desta forma, todo inteiro múltiplo de 6 pode ser escrito como soma de 4
> cubos.
> Pode-se escrever também todo inteiro n das seguintes formas:
>   i) n = 6q = 6x + 0^3
> ii) n = 6q + 1 = 6x + 1^3
> iii) n = 6q + 2 = 6(x + 1) + 2 = 6x + 8 = 6x + 2^3
> iv) n = 6q + 3 = 6(x + 4) + 3 = 6x + 27 = 6x + 3^3
> v) n = 6q + 4 = 6(x - 2) + 4 = 6x - 8 = 6x + (- 2)^3
> vi) n = 6q + 5 = 6(x - 1) + 5 = 6x - 1 = 6x + (- 1)^3
> Assim, podemos escrever que todo inteiro n é da forma:  n = 6k + j^3,
onde
> j = - 2 ou - 1 ou 0 ou 1 ou 2 ou 3.
> Sendo  6k = n - j^3   =>
> (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 = n - j^3   =>
> n = (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 + j^3
>
>
>
> >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@unisys.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: [obm-l] Teorema dos 5 cubos
> >Date: Fri, 12 Apr 2002 16:48:40 -0300
> >
> >Teorema dos cinco cubos:
> >
> >Todo número natural pode ser representado como a soma de cinco cubos.
> >
> >JF
> >
> >-----Mensagem Original-----
> >De: Bruno F. C. Leite <bruleite@terra.com.br>
> >Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 15:34
> >Assunto: [obm-l] Re:
> >
> >
> > > >05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a soma
de
> > > >4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos?
> > >
> > > Que teorema dos 5 cubos é esse?
> > >
> > > Bruno Leite
> > > http://www.ime.usp.br/~brleite
> > >
> >
> >
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> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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