Re: [obm-l] duvida na aula de analise !

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Uma resposta bem simples é tomar m = n = 0. Mas acho
que não é bem isso que vc quer. Vamos supor que
queremos m e n tais que

0 < |m*z - n| < epsilon

Bom, se m e n são naturais, isso nem sempre é verdade.
Tome z negativo, por exemplo, z = -raiz(2). Verifique
que |m*z - n| >= 1 se |m*z - n| não é nulo.

Mas se m e n são inteiros, isso é verdade (é o teorema
de Kronecker). Considere a seqüência {a*z}, a inteiro.
{x} aqui representa a parte fracionária de x. Divida o
intervalo 1 em q intervalinhos de comprimento 1/q
(vamos tomar aqui q > 0). Pelo princípio da casa dos
pombos, existe uma das m casas que tem dois termos da
seqüência. Assim, se b*z = k + {b*z} e c*z = l +
{c*z}, temos |{b*z} - {c*z}| < 1/q, Substituindo {b*z}
= b*z - k e {c*z} = c*z - l,temos |k - l + (b - c)*z|
< 1/q. Tome agora n = k - l e m = b - c. Temos |n +
m*z| < 1/q. Como q pode ser qualquer inteiro positivo,
podemos tomar q tal que 1/q < epsilon, ou seja, q >
1/epsilon. Aí temos o que queríamos.

É claro que dá para melhorar essas estimativas. Por
exemplo, existem sempre m e n inteiros tais que

0 < |m*z - n| < epsilon/|m|.

Para demonstrar isso, vc pode adaptar a demonstração
acima, mas estimando o valor de b - c e escolhendo
melhor o q.

[]'s
Shine

--- ghaeser@zipmail.com.br wrote:
> Olá amigos da lista,
> 
> acabo de sair da minha aula de analise real e a
> professora tentava demonstrar
> o seguinte teorema:
> 
> seja z irracional e epsilon>0 entao mostre que
> existe m,n pertencentes aos
> Naturais tais que:
> 
> |m*z-n|<epsilon
> 
> depois de mais de uma hora tentando provar .. ela
> acabou desistindo ...
> muitos alunos afirmavam que o teorema era falso..
> 
> sera que alguem poderia ajudar ??
> 
> Agradeço desde já.
> 
> Gabriel Haeser
> www.gabas.cjb.net
> 
> "Mathematicus nascitur, non fit"
> Matemáticos não são feitos, eles nascem
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