[obm-l] Re: Problema de Silvester

[pauloemanu@xxxxxxxxxx]

Dado um conjunto S formado por n pontos em um plano, não todos
colineares,  existe uma reta que contém exatamente dois dos pontos.

 Chamaremos uma tal reta de ordinária.

Prova:

Para o dado conjunto S de pontos, considere todos os pares (p, L)
consistindo de um ponto p de S e uma reta L que liga pontos de S e não
contém p.

Como os pontos de S não são todos colineares,  existem tais pares e, como S
é finito existe um número finito deles.

Dentre estes pares (p, L), existe um para o qual a distância do ponto p a
reta L é mínima. Afirmamos que a reta L é ordinária.

Suponha o contrário, e considere o pé q da perpendicular de p a L.

Se L não é ordinária, existem dois pontos de L do mesmo lado de
q; chame-os de p1 e s, com p1 mais próximo de q, e seja L1 a
reta que contém s e p. Então o par (p1, L1)  contradiz a
propriedade de minimalidade de (p, L), porque a distância de p1 a
L1 é menor que a distância de p a L.

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