Re: [obm-l] Angulo de 1 grau

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Mar 09, 2002 at 02:27:08AM -0300, Alexandre Tessarollo wrote:
> 
> 
>     Estava olhando um prob que propuseram na lista (DADO um ângulo de
> 19, construir o de 1) e lembrei que o ângulo de 1 não é construtível,
> mas não lembro como provar... Alguém se habilita?

A prova exige um pouco de álgebra. Chamamos um número complexo z de
*construtível* se existirem corpos K_0 = Q < K_1 < ... < K_n
(onde o sinal < significa 'é subcorpo de', imagine o sinal usual
de 'é subconjunto de', aquele U deitado) tais que z pertence a K_n
e K_{j+1} = K_j (w) para algum w com w^2 pertencente a K_j.
A notação K(x) significa 'o menor corpo contendo K U {x}'.
Identifique o plano com C, o conjunto dos complexos.
Não é difícil verificar que se começamos com pontos construtíveis
então qualquer construção com régua e compasso nos dá ainda pontos
construtíveis.

Falta portanto provar que z = cos(1) + i sen(1) não é construtível.
Se fosse, w = z^40 = cos(40) + i sen(40) também seria.
Mas o grau de Q(w) sobre Q é 6 e portanto o grau de qualquer
corpo K com w elemento de K é múltiplo de 3.
Por outro lado, os graus dos corpos K_n (na definição de número construtível)
são potências de 2.

[]s, N.

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