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Re: Re:[obm-l] GEO-prova
Oi Anderson,
não entendi isto:
"Seu AX(cgr) e superfluo.Basta dizer que "...,tem os 3 angulos congruentes"
Valeu pela referência!
[]s, Josimar
----- Original Message -----
From: dirichlet <dirichlet@bol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Cc: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, February 27, 2002 2:18 PM
Subject: Re:[obm-l] GEO-prova
> > Olá amigos!
> >
> > Adaptei o texto que segue para ser colocado num e-mail
> (sem anexo). Digitei-o há alguns anos, mas com muitos
> símbolos. Alguém poderia me ajudar como o seguinte
> problema?
> >
> > []s, Josimar
> >
> > PROBLEMA
> >
> > Apenas com os axiomas e definições abaixo, é possível
> provar o quarto postulado de Euclides?
> >
> > Quarto postulado: "todos os ângulos retos são iguais
> entre si".
> >
> > GEOMETRIA NO PLANO
> >
> > I) AXIOMAS DE INCIDÊNCIA
> >
> >
> >
> > Termos primitivos: PONTO, RETA e INCIDENTE.
> >
> > Consideremos os termos "passar por", "jazer em" e suas
> variantes como sinônimos de incidentes.
> >
> >
> > AX(inc) 1 - Para todo ponto P e todo ponto Q distinto
> de P, existe uma única reta l incidente em P e Q.
> >
> >
> > AX(inc) 2 - Para toda reta l existem pelo menos dois
> pontos distintos incidentes em l.
> >
> >
> > AX(inc) 3 - Existem pelo menos três pontos distintos
> com a
> >
> > propriedade que nenhuma reta é incidente em todos eles.
> >
> >
> > Definições
> >
> > Def(inc) 1 - Dois ou mais pontos são COLINEARES quando
> incidem na mesma reta.
> >
> > Def(inc) 2 - Duas retas são CONCORRENTES quando
> possuem um ponto comum, ou seja, quando incidem em um
> ponto.
> >
> > Def(inc) 3 - Duas retas são PARALELAS quando não
> incidem em nenhum ponto comum, ou seja, quando não são
> concorrentes.
> >
> >
> > II) AXIOMAS DE ENTREMEIO (BETWEENESS)
> >
> >
> > Termo primitivo: "ESTAR ENTRE".
> >
> >
> > AX(entre) 1 - Se o ponto B está entre os pontos A e C
> então A, B e C são três pontos distintos incidentes na
> mesma linha reta e também B está entre C e A.
> >
> >
> > Introduzindo a notação A*B*C para denotar que B está
> entre A e C (ou, equivalentemente, B está entre C e A),
> podemos reescrever o axioma acima como:
> >
> > "Se A*B*C então A, B e C são distintos e A,B,C
> pertencem a l e C*B*A."
> >
> >
> > AX(entre) 2 - Dados dois pontos distintos B e D,
> existem pontos A, C e E incidindo na reta l que passa
> por B e D e tal que A*B*D, B*C*D, B*D*E.
> >
> >
> > AX(entre) 3 - Se A, B e C são três pontos distintos
> incidentes em uma reta, então ocorre um e somente um dos
> casos:
> >
> > i) A*B*C ii) A*C*B iii)
> B*A*C
> >
> >
> > Definição
> >
> > Def(entre) 1 - Dizemos que dois pontos A e B estão do
> mesmo lado da reta l se o segmento [AB] não interceptar
> l. Caso contrário, dizemos que A e B estão em lados
> opostos de l.
> >
> >
> > AX(entre) 4 - Para toda reta l e três pontos A, B e C
> quaisquer não incidentes em l, teremos:
> >
> > i. Se A e B estão do mesmo lado de l e B e C estão do
> mesmo lado de l, então A e C estão do mesmo lado de l.
> >
> > ii. Se A e B estão em lados opostos de l e B e C estão
> em lados opostos de l, então A e C estão do mesmo lado
> de l.
> >
> >
> >
> > Definições
> >
> > Def(entre) 2 - O segmento [AB] é definido por:
> >
> > [AB] = {A,B} união {X / A*X*B}
> >
> > Def(entre) 3 - A semi-reta [AB[ é definida por:
> >
> > [AB[ = [AB] união {X / A*B*X}
> >
> >
> >
> >
> > a.. AXIOMAS DE CONGRUÊNCIA
> >
> >
> > Termo Primitivo: CONGRUÊNCIA.
> >
> >
> > AX(cgr) 1 - Se A e B são pontos distintos e A' é um
> ponto qualquer, então para cada semi-reta r partindo de
> A', existe um único ponto B' incidente em r tal que B'
> seja diferente de A' e [AB] == [A'B'], (== significa
> "congruente a").
> >
> >
> > AX(cgr) 2 - Se [AB]==[CD] e [AB]==[EF], então [CD]==
> [EF]. Além disso, todo segmento é congruente a si
> próprio.
> >
> >
> > AX(cgr) 3 - Se A*B*C, A'*B'*C',[AB]==[A'B'], [BC]==
> [B'C'] então [AC]==[A'C'].
> >
> >
> > Definição
> >
> > Def(cgr) 1 - Um ângulo de vértice A é definido como um
> ponto A junto com duas semi-retas [AB[ e [AC[;
> convencionaremos que se B*A*C então ^BAC não é um
> ângulo, mas sim, semi-retas opostas.
> >
> >
> > AX(cgr) 4 - Dado um ângulo ^BAC e dada qualquer semi-
> reta [A'B'[ partindo de A', então há uma única semi-reta
> [A'C'[ em um dado lado da reta ]AB[ tal que
> ^B'A'C'==^BAC.
> >
> >
> > AX(cgr) 5 - Se ^A==^C e ^A==^D então ^C==^D. Além
> disso, todo ângulo é congruente a si próprio.
> >
> >
> > AX(cgr) 6 - (SAS) Triângulos com dois lados
> congruentes um a um e cujos ângulos compreendidos entre
> os lados congruentes são congruentes, são triângulos
> congruentes.
> >
> > []s, Josimar
> >
> >Josimar,
> >>Seu AX(cgr) e superfluo.Basta dizer que "...,tem os 3
> angulos congruentes"
> Uma boa referencia e o livro "A demonstraçao em
> Geometria" de A.I.Fetissov,Editora MIR(traduçao da
> Editora Moderna).
> > Se puder,escreverei + sobre isso.
> >ATE MAIS!!!!!!!!!!!
> >Anderson
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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