Re: [obm-l] Divisibilidade

["Alexandre F. Terezan" <aleterezan@xxxxxxxxxxxxx>]

== significa "côngruo"

2^6 == 64 == 3  (mod 61)
2^24 == 3^4 == 20 (mod 61)
2^48 == 20^2 == 34 (mod 61)
2^48 - 1 == 33 (mod 61)

Logo, 2^48 - 1 nao é divisível por 61.

2^6 == 64 == (-3)  (mod 67)
2^24 == (-3)^4 == 14(mod 67)
2^48 == 14^2 == 62 (mod 67)
2^48 - 1 == 61 (mod 67)

Logo, 2^48 - 1 nao é divisível por 67.

2^6 == 64 == (-5)  (mod 69)
2^18 == (-5)^3 == (-125) == 13 (mod 69)
2^24 == (-5) * 13 == (-65) == 4 (mod 69)
2^48 == 4^2 == 16 (mod 69)
2^48 - 1 == 15 (mod 69)

Logo, 2^48 - 1 nao é divisível por 69.

[ ]'s
Alexandre Terezan.


-----Mensagem Original-----
De: "Angelo Barone Netto" <barone@ime.usp.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Quinta-feira, 28 de Fevereiro de 2002 19:51 Terezan
Assunto: Re: [obm-l] Divisibilidade




Angelo Barone{\ --\ }Netto           Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada  Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010                   Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281                  phone +55-11-3091-6162/6224/6136
05311-970 - Sao Paulo - SP           fax +55-11-3091-6131
Agencia Cidade de Sao Paulo
.

2^48 - 1 = 63 * 65 * (2^12 + 1)(2^24 + 1).
2^12 + 1=3^2*5*7*13
2^24 + 1=3^2*5*7*13*17*241
63=3^2*7
65=5*13
2^48 - 1=3^6*5^3*7^3*13^3*17*241 tem
7*4*4*4*2=896 divisores:
  1   3  9  27  81 ...
  5  15 45 135 ...
 25  75 ...
125  ...
  7  21 35  63 105 ...
 49 147 ...
343 ...
 13  39 65 91 ...
169 ...
...
 17  51 85 ...
241 ...
(onde ... indica divisores estritamente maiores do que 70)

 Logo, 63 e 65 sao os unicos números procurados.
Deve haver modo mais inteligente de mostrar qur 61, 67 e 69 nao
dividem 2^48 - 1.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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