Re:[obm-l] GEO-prova

["dirichlet" <dirichlet@xxxxxxxxxx>]

> Olá amigos!
> 
> Adaptei o texto que segue para ser colocado num e-mail 
(sem anexo). Digitei-o há alguns anos, mas com muitos 
símbolos. Alguém poderia me ajudar como o seguinte 
problema?
> 
> []s, Josimar 
> 
> PROBLEMA
> 
> Apenas com os axiomas e definições abaixo, é possível 
provar o quarto postulado de Euclides?
> 
> Quarto postulado: "todos os ângulos retos são iguais 
entre si".
> 
> GEOMETRIA NO PLANO
> 
> I) AXIOMAS DE INCIDÊNCIA
> 
> 
> 
> Termos primitivos: PONTO, RETA e INCIDENTE.
> 
> Consideremos os termos "passar por", "jazer em" e suas 
variantes como sinônimos de incidentes.
> 
> 
> AX(inc) 1 - Para todo ponto P e todo ponto Q distinto 
de P, existe uma única reta l incidente em P e Q.
> 
> 
> AX(inc) 2 - Para toda reta l existem pelo menos dois 
pontos distintos incidentes em l.
> 
> 
> AX(inc) 3 - Existem pelo menos três pontos distintos 
com a
> 
> propriedade que nenhuma reta é incidente em todos eles.
> 
> 
> Definições
> 
> Def(inc) 1 - Dois ou mais pontos são COLINEARES quando 
incidem na mesma reta.
> 
> Def(inc) 2 - Duas retas são CONCORRENTES quando 
possuem um ponto comum, ou seja, quando incidem em um 
ponto.
> 
> Def(inc) 3 - Duas retas são PARALELAS quando não 
incidem em nenhum ponto comum, ou seja, quando não são 
concorrentes.
> 
> 
> II) AXIOMAS DE ENTREMEIO (BETWEENESS)
> 
> 
> Termo primitivo: "ESTAR ENTRE".
> 
> 
> AX(entre) 1 - Se o ponto B está entre os pontos A e C 
então A, B e C são três pontos distintos incidentes na 
mesma linha reta e também B está entre C e A.
> 
> 
> Introduzindo a notação A*B*C para denotar que B está 
entre A e C (ou, equivalentemente, B está entre C e A), 
podemos reescrever o axioma acima como:
> 
> "Se A*B*C então A, B e C são distintos e A,B,C 
pertencem a l e C*B*A."
> 
> 
> AX(entre) 2 - Dados dois pontos distintos B e D, 
existem pontos A, C e E incidindo na reta l que passa 
por B e D e tal que A*B*D, B*C*D, B*D*E.
> 
> 
> AX(entre) 3 - Se A, B e C são três pontos distintos 
incidentes em uma reta, então ocorre um e somente um dos 
casos:
> 
> i) A*B*C                ii) A*C*B                iii) 
B*A*C
> 
> 
> Definição
> 
> Def(entre) 1 - Dizemos que dois pontos A e B estão do 
mesmo lado da reta l se o segmento [AB] não interceptar 
l. Caso contrário, dizemos que A e B estão em lados 
opostos de l.
> 
> 
> AX(entre) 4 - Para toda reta l e três pontos A, B e C 
quaisquer não incidentes em l, teremos:
> 
> i. Se A e B estão do mesmo lado de l e B e C estão do 
mesmo lado de l, então A e C estão do mesmo lado de l.
> 
> ii. Se A e B estão em lados opostos de l e B e C estão 
em lados opostos de l, então A e C estão do mesmo lado 
de l.
> 
> 
> 
> Definições
> 
> Def(entre) 2 - O segmento [AB] é definido por:
> 
> [AB] = {A,B} união {X / A*X*B} 
> 
> Def(entre) 3 - A semi-reta [AB[ é definida por:
> 
> [AB[ =  [AB]  união {X / A*B*X}
> 
> 
> 
> 
>   a.. AXIOMAS DE CONGRUÊNCIA 
> 
> 
> Termo Primitivo: CONGRUÊNCIA.
> 
> 
> AX(cgr) 1 - Se A e B são pontos distintos e A' é um 
ponto qualquer, então para cada semi-reta r partindo de 
A', existe um único ponto B' incidente em r tal que B' 
seja diferente de A' e [AB] == [A'B'], (== significa 
"congruente a").
> 
> 
> AX(cgr) 2 - Se [AB]==[CD] e [AB]==[EF], então [CD]==
[EF]. Além disso, todo segmento é congruente a si 
próprio.
> 
> 
> AX(cgr) 3 - Se A*B*C, A'*B'*C',[AB]==[A'B'], [BC]==
[B'C'] então [AC]==[A'C'].
> 
> 
> Definição
> 
> Def(cgr) 1 - Um ângulo de vértice A é definido como um 
ponto A junto com duas semi-retas [AB[ e [AC[; 
convencionaremos que se B*A*C então ^BAC não é um 
ângulo, mas sim, semi-retas opostas.
> 
> 
> AX(cgr) 4 - Dado um ângulo ^BAC e dada qualquer semi-
reta [A'B'[ partindo de A', então há uma única semi-reta 
[A'C'[ em um dado lado da reta ]AB[ tal que 
^B'A'C'==^BAC.
> 
> 
> AX(cgr) 5 - Se ^A==^C e ^A==^D então ^C==^D. Além 
disso, todo ângulo é congruente a si próprio.
> 
> 
> AX(cgr) 6 - (SAS) Triângulos com dois lados 
congruentes um a um e cujos ângulos compreendidos entre 
os lados congruentes são congruentes, são triângulos 
congruentes.
> 
> []s, Josimar
>
>Josimar,
>>Seu AX(cgr) e superfluo.Basta dizer que "...,tem os 3 
angulos congruentes"
Uma boa referencia e o livro "A demonstraçao em 
Geometria" de A.I.Fetissov,Editora MIR(traduçao da 
Editora Moderna).     
> Se puder,escreverei + sobre isso.
>ATE MAIS!!!!!!!!!!!
>Anderson

 
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