Re: [obm-l] t. fundamental da algebra e 0,999...=1

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Feb 24, 2002 at 02:03:37AM -0300, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
> Olá colegas da lista, venho mais uma vez tentar esclarecer algumas dúvidas:
> 
> 1) Achei na Internet uma "demonstração elementar" do teorema fundamental da
> algébra, q usa cálculo. O problemas é q ela cita tb coisas como anéis,
> corpos... (o pouco q eu sei sobre isso é q têm a ver com a teoria dos grupos
> de Galois, ou não), como já vi vários comentários sobre isso e esse parece
> ser um assunto importantissimo quero estudar algo e gostaria de referências
> de livros para um iniciante...        Eu estava dando uma olhada no arquivo
> da lista e encontrei uma mensagem dizendo q Gauss chegou a dar 3 provas do
> teorema fundamental da algébra mas q todas tinham considerações geoméricas e
> q ele queria obter uma q fosse livre dessas consideraçoes, o q sao essas
> consideraçoes geometricas q ele utilizou? alguém poderia mostrar mais ou
> menos o ponto de partida das demontraçoes de gauss?

Deve ser uma das demonstrações de Gauss, a que inclui o mínimo de não-álgebra.
Antes de mais nada é preciso deixar claro que é absurdo esperar
uma demonstração do TVA que não use *alguma* propriedade não-algébrica de R
(como o axioma do supremo) pois o enunciado é *falso* se trocamos R e C
por Q e Q[i]. As demosntrações mais populares usam muita topologia ou
análise complexa e pouca álgebra. A demonstração que você deve ter em mente
divide-se nas seguintes etapas:

  Lema 1: Todo real positivo tem raiz quadrada.

  Lema 2: Todo polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.

Acho que todos concordamos que estes lemas não são difíceis...

  Teorema: Seja K um corpo ordenado com as seguintes propriedades:

     (a) Todo elemento positivo tem raiz quadrada;

     (b) Todo polinômio de grau ímpar com coeficientes em K admite
         pelo menos uma raiz em K;

  Então K[i] é algebricamente fechado, isto é, todo polinômio P(X) de grau n
  com coeficientes em K[i] pode ser escrito de forma única como

         P(X) = (X - a1)(X - a2)...(X - an)

  onde a1, a2, ..., an são elementos de K[i] (as raízes de P).

A demonstração deste teorema usa um pouco de álgebra mas não é difícil.
Aliás não usa nada de teoria de Galois, isto é outra parte de teoria de corpos.


> 2) 0,999...=1, essa é uma afirmação q ainda causa certa polêmica entre meus
> colegas aqui por onde moro. Recentemente um desses colegas perguntou ao seu
> professor de Cálculo se essa afirmação é verdadeira e ele a negou e disse q
> se isso fosse verdade se jogava do prédio onde dá aulas. Foi a maior polemica
> na aula. Esse colega pediu-me q renisse algo sobre tal afirmaçao para q ele
> levasse ao tal professor. Acabei de enviar para esse meu colega tudo q pude
> encontrar na lista sobre o assunto, (e-mails do nicolau, ralph e etc.)
> juntamente com o endereço da lista, para ele entregar ao tal professor e esse
> entaum tirar suas proprias conclusoes... Eu nao quero retomar esse assunto
> aqui na lista uma vez q ele já foi muito discutido, o q eu queria era pedir
> informação sobre q área da matematica devo estudar para poder compreender
> melhor isso e referencias de livros

Espero que o prédio seja baixo. ;-)
 
> 3) qual é a equaçao do lugar geometrico dos pontos cujo produto das
> distancias a dois outros pontos é uma constante?(como na elipse só q ao inves
> de se somar se multiplica, se naum fui claro...). Achei uma equação enorme
> pra se escrever aki... alguém sabe algum programa  q eu possa usar para
> escrever equaçoes e obter graficos... de preferencia gratis (tentei usar
> algumas simulçaoes em java na internet mas as q achei só escrevem
> funçoes...)?

É uma curva algébrica de grau 4. Não sei se tem nome na forma geral que você
sugere mas se a distância entre os pontos dados (focos?) for 2d e o produto
prescrito for d^2 então a curva se chama uma lemniscata e parece um 8.

[]s, N.
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