RE: [obm-l] Re

[Ralph Teixeira <RALPH@xxxxxx>]

Oi, gente.

>1)Seja f:R==>R,não identicamente nula,tal que
>
>f(x)*f(y)=(1/2)[f(x+y)+f(x-y)] e f(1)=0,para todos os números reais x e
y.
>
>a)Mostre que f(0)=1,f(2)=-1,f(3)=0 e f(4)=1.
>b)Mostre que f(x+4)=f(x),para todo x real.
>c)Existe de fato tal função.

Bom, (a) saiu? Ok... Para (b), experimente fazer y=1 e prove que
f(x+1)=-f(x-1), isto eh, f troca de sinal de 2 em 2. Assim,
f(x+4)=-f(x+2)=f(x).

Existe tal funcao? Bom, funcao periodica assim, 1,0,-1,0,1,0,-1,0,... me
lembra senos e cossenos. Com um pouco de cuidado a gente tenta algo com
periodo 4, por exemplo:

f(x)=cos(Pi*x/2)

e ve que dah certo (isto eh, cos(Pi*x/2) satisfaz as condicoes do
enunciado... :P    Pronto, tal funcao existe (mas nao dissemos nada a
respeito dela ser unica!).

Abraco,
       Ralph
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================