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Re: [obm-l] Re
At 22:34 21/02/02 -0300, you wrote:
>Valeu pela resolução David e demais companheiros de lista.
>
>Eu gostaria de propor mais duas:
>
>
>1)Seja f:R==>R,não identicamente nula,tal que
>
>f(x)*f(y)=(1/2)[f(x+y)+f(x-y)] e f(1)=0,para todos os números reais x e y.
>
>a)Mostre que f(0)=1,f(2)=-1,f(3)=0 e f(4)=1.
>b)Mostre que f(x+4)=f(x),para todo x real.
>c)Existe de fato tal função.
>
>É fácil verificar o item a,mas não consegui o b e o c.
>
>2)Seja p(x)=x^3+ax^2+bx+c um polinômio com coeficientes inteiros.Suponha
>que a equação p(x)-0 tem raízes inteiras distintas.Mostre que a equação
>p(x)-1=0 não admite nenhuma raiz inteira.
Temos que p(x)=(x-a)(x-b)(x-c). Se p(x)-1=0, então (x-a)(x-b)(x-c)=1. Como
x,a,b,c são inteiros, ou
x-a=x-b=x-c=1 ou x-a=1 e x-b=x-c=-1, por exemplo. Mas as duas contradizem o
fato de a,b,c serem diferentes.
>
>3)Dada uma equação do segundo grau, com coeficientes inteiros,mostre que
>seu discriminante não pode ser igual a 23.
Há um modo mais fácil de fazer isso se vc observar os restos na divião por
4. MODULO 4, temos
b^2=23=3, e isso nao tem solução pois nenhum quadrado deixa resto 3 na
divisao por 4.
Não pensei na 1, mas espero ter ajudado.
Bruno Leite
http://www.ime.usp.br/~brleite
>
>
>Essa eu acho que consegui fazer.Como eu não tenho muita prática em
>problemas de olimpíada,vou esboçar minha resolução.Quem vir alguma
>besteira,pode comentar se quiser.
>
>Fiz y=ax²+bx+c (com a,b e c nas condições do enunciado)
>
>Observei que todo quadrado perfeito termina em 0,1,4,5,6 ou 9 e que os
>múltiplos de 4 terminam em
>0,2,4,6 ou 8.
>
>Daí verifiquei o algarismo das unidades de delta=b²-4ac admitindo b²
>terminando em 0,1,4,5,6 ou 9.
>
>As possibilidades de 3 ser o algarismo das unidades de delta apareceram
>para b² terminando em 1 e b² terminando em 9.
>
>Para b² terminando em 1,temos que b termina em 1 ou 9.Daí b pertence
>{+-1,+-9,+-11,+-19,...}.
>Esses números são da forma 4k+ -1,k inteiro.
>
>(4k+ -1)²=16k²+-8k+1
>
>Como delta =b²-4ac,fiz delta igual a 23:
>
>16k²+-8k+1-4ac=23 ==> 2(k²+-2k-ac)=11 ==> 11 é múltiplo de 2(absurdo)
>
>Para b² terminando em 5,temos b múltiplo ímpar de 5.Pondo b=5(2k+1):
>
>delta=25(4k²+4k+1)-4ac
>
>Fazendo delta=23,resulta 25k²+25k-ac=(-1/2).Mas sendo k,a e c inteiros
>isso não pode acontecer.
>
>Delta nunca é igual a 23.
>----- Original Message -----
>From: <mailto:dturchic@colband.com.br>David Daniel Turchick
>To: <mailto:edalbuquerque@uol.com.br>edalbuquerque@uol.com.br
>Sent: Thursday, February 21, 2002 12:36 AM
>Subject: Re: [obm-l] ???
>
>Eder, eu mandei e-mail respondendo à sua dúvida prá lista, mas por algum
>motivo ele não chegou, sei lá pq... Aí vai a minha resposta.
>
>
>
>Você conhece o Teorema de Cramer? Ele diz que um sistema linear de n
>equações a n incógnitas tem solução única se, e somente se, o determinante
>da matriz dos coeficientes for não-nulo.
>
>Sendo os pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2) e (x_3,y_3), queremos encontrar a,b,c
>reais tais que a*(x_i)^2+b*x_1+c=y_i, i=1,2,3. Acabamos então de montar um
>sistema linear de 3 equações a 3 incógnitas, a, b e c. A matriz dos
>coeficientes é {[(x_1)^2, x_1, 1], [(x_2)^2, x_2, 1], [(x_3)^2, x_3, 1]},
>cujo determinante é (x_2-x_1)*(x_3-x_1)*(x_3-x_2) (a matriz é de
>Vandermonde, então é fácil). Isso só seria zero se tivéssemos coincidência
>de pelo menos duas abscissas, o que você explicitou não acontecer. Logo,
>pelo Teorema de Cramer, EXISTEM ÚNICOS a,b,c reais que satisfazem o
>sistema. Fora isso, o a não é zero, pois se fosse, teríamos a reta bx+c
>passando pelos três pontos (que você disse serem não-colineares). Logo,
>existe uma única parábola passando pelos três pontos.
>
>Você pode verificar que esse argumento (até a parte do "a não é zero,
>pois...") continua valendo para um caso mais geral: por n pontos de RxR
>com abscissas distintas 2 a 2, passa no máximo uma função polinomial de
>grau n-1.
>
>David
>-----Mensagem original-----
>De: Eder <<mailto:edalbuquerque@uol.com.br>edalbuquerque@uol.com.br>
>Para: <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>obm-l@mat.puc-rio.br
><<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Quarta-feira, 20 de Fevereiro de 2002 16:38
>Assunto: [obm-l] ???
>
>Olá,
>
>Será que alguém poderia ajudar nesta questão:
>
>"Considere três pontos no plano cartesiano,não colineares e com abcissas
>distintas duas a duas.Qual o número de funções quadráticas que podem ser
>encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos?"
>
>Essa questão foi do vestibular de uma universidade não lá muito
>conceituada,mas eu ainda não matei a charada...
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