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Você conhece o Teorema de Cramer? Ele diz
que um sistema linear de n equações a n incógnitas tem
solução única se, e somente se, o determinante da matriz
dos coeficientes for não-nulo.
Sendo os pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2) e (x_3,y_3), queremos
encontrar a,b,c reais tais que a*(x_i)^2+b*x_1+c=y_i,
i=1,2,3. Acabamos então de montar um sistema linear de 3
equações a 3 incógnitas, a, b e c. A matriz dos
coeficientes é {[(x_1)^2, x_1, 1], [(x_2)^2, x_2, 1], [(x_3)^2, x_3, 1]},
cujo determinante é (x_2-x_1)*(x_3-x_1)*(x_3-x_2) (a matriz é de
Vandermonde, então é fácil). Isso só seria zero se
tivéssemos coincidência de pelo menos duas abscissas, o que
você explicitou não acontecer. Logo, pelo Teorema de Cramer,
EXISTEM ÚNICOS a,b,c reais que satisfazem o sistema. Fora isso, o a
não é zero, pois se fosse, teríamos a reta bx+c passando
pelos três pontos (que você disse serem não-colineares).
Logo, existe uma única parábola passando pelos três
pontos.
Você pode verificar que esse argumento (até a
parte do "a não é zero, pois...") continua valendo para
um caso mais geral: por n pontos de RxR com abscissas distintas 2 a 2, passa no
máximo uma função polinomial de grau n-1.
David
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