Re: [obm-l] questao

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Feb 15, 2002 at 12:02:35PM -0300, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
> Essa questãp parece estar ainda muito acima do meu nível por enquanto,
> mas eu queria ver como se resolve... aí vai:
> 
> (XLII IMO) Sejam a, b, c, d inteiros com a>b>c>d>0.
> Considere que ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).
> Prove que ab+cd não é um número primo.

Esta foi uma das duas questões mais difíceis da IMO 2001.
Vale a pena tentar fazer sozinho, há vários tipos de soluções,
algumas bem elementares. Segue abaixo uma dica para uma solução
não elementar, não leiam se preferirem pensar sozinhos do zero.
 
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(XLII IMO) Sejam a, b, c, d inteiros com a>b>c>d>0.
Considere que ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).
Prove que ab+cd não é um número primo.


Reescreva a equação:

ac + bd = (b+d)^2 - (a-c)^2

(a-c)^2 + ac = (b+d)^2 - bd

a^2 - ac + c^2 = b^2 + bd + d^2

Seja w uma raiz cúbica primitiva da identidade.
Escreva agora a identidade como

 |a + cw| = |b - dw|

Agora use o que você sabe sobre Z[w],
o anel dos inteiros da forma x + yw com x, y inteiros...

A partir daqui não é difícil.

Em tempo, um dos estudantes americanos que tiraram 42 pontos
e eu próprio chegamos a esta solução independentemente.
Ele tem muito mais mérito, claro, pois eu já tinha visto
outras soluções e tinha muito mais tempo.

[]s, N.
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