Re: [obm-l] duvidas (derivadas)

[Carlos Frederico Borges Palmeira <fredpalm@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, 15 Feb 2002, [iso-8859-1] Marcos Aurélio Almeida da Silva wrote:

> Bom, nas fontes onde estudei eu sempre encontrei uma tal regra de derivação
> chamada de "Derivada da função inversa" que diz que :
> 
>     f(-1)(x)' = 1 / f(x)'
E' quase isso mas nao e' bem isso. vamos  escrever y=f(x).
 Seja g a funcao inversa de f. Entao f(g(y))=y e g(f(x))=x. Agora
suponha que ambas f e g sao derivaveis, entao derivando a 2a igualdade e
usando a regra da cadeia, vem:
g'(f(x))f'(x)=1 ou seja, g'(y)=1/f'(x), ou
f'(x)=1/g'(y). No exemplo abaixo , em que f(x)=raiz(x), temos g(y)=y^2, 
entao f'(x)=1/2y = 1/2raiz(x), pois e' preciso substituir y por seu valor
em funcao de x.

> bom, gostaria de saber se essa regra é verdadeira. Se for, observe esse
> caso:
> 
> calcular a derivada da função f(x)=raiz(x)
> 
> bom, f(-1)(x) = x^2 ==> f(-1)(x)' = 2*x ==> f(x)' = 1 / (2*x)
> 
> mas a todas pessoas que eu perguntei esse problema foi resolvido assim:
> 
> f(x) = x ^(1/2) ==> f(x)' = 1/2 * x ^ (-1/2)
> 
> qual é o certo?
>
Como se ve, o certo e' a segunda maneira, que usa a formula da derivada de
x^m, que vale para todo m real, exceto -1.
Fred palmeira

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