[obm-l] Re: [obm-l] Soma de Potências (de novo)

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Ghaeser e demais
colegas desta lista,

Gostei da frase que voce destaca : "mathematicus nascitur, non fit". Por 
esta razao voce ajudar voce a compreender os fenomenos que esta percebendo.

O somatorio de i^k, i variando de 1 ate N e K natural, e um polinomio de 
grau K+1. E verdade. De fato. Isto e uma conjuncao de dois teoremas, 
geralmente enunciados assim ( ou equivalente ):

TEOREMA 1 : Se (A1,A2,...,An) e uma Progressao Aritmetica entao (A1^k, A2^k, 
..., An^k) e uma Progressao Aritmetica de ordem K.

TEOREMA 2 : Se (A1,A2,...,An) e uma Progressao Aritmetica de ordem K entao 
sua soma e um polinomio de grau K+1.

O que talvez nao esteja claro e que o que chamamos comumente de Progressao 
Aritmetica e, em verdade, uma Progressao Aritmetica de ordem 1 ( uma 
sucessao constante, tipo 1,1,1,1, e de ordem zero ). Isto permite voce 
tratar com serenidade de Progressoes de ordens mais avancadas, por exemplo.

Seja (A1,A2,...,An) uma progressao de ordem K, entao :

B1=A1
Bn=A1+...+An

E de ordem K+1. Isto permite voce alcancar todas as progressoes de todas as 
ordens K, K natural e maior que zero. Agora voce pode provar um resultado 
muito mais interessante :

TEOREMA: Se (A1,A2,...,An) e uma progressao de ordem K e (C1, C2, ..., Cn) e 
de ordem L entao (A1*C1, A2*C2, ..., An*Cn) e de ordem K+L

COROLARIO : ( Nome bonito, nao ? O meu proximo cachorro vou batizar de 
Corolario )Se (A1,A2,...,An) e uma PA-L ( Progressao Aritmetica de ordem K ) 
entao (A1^k, A2^k, ..., An^k) e uma PA-L*K, ISTO E, e uma progressao 
aritmetica de ordem L*K.

Agora voce comeca a entender as coisas ? Ainda nao ?

Bom, vejamos. Como diria o Prof Ralph, o truque e o seguinte :

As progressoes aritmeticas de ordem inteira e positiva podem ser expressam 
como soma de produtos de numeros binomiais ... Assim.

PA-1
Sn =Bi(N,1)*A1 + Bi(N,2)*(A2 -A1)

PA-2
Sn=Bi(N,1)*A1 + Bi(N,2)*(A2-A1) + Bi(N,3)*(A3-2*A2+A1)

PA-3
Sn=Bi(N,1)*A1 + Bi(N,2)*(A2-A1) + Bi(N,3)*(A3-2*A2+A1) + 
Bi(N,4)*(A4-3*A3+3*A2-A1)


e assim sucessivamente. E facil provar estas coisas ( Bom exercicio pra voce 
). Quando voce iguala a zero e reduz o termos semelhantes vao surgir os 
fatos que voce vem percebendo.

NOTA: Bi(N,P)=numero binomial de numerador N e denominador P. Se P > N entao 
faca Bi(N,P)=0.

Ajudou ?

Corolario ! Corolario ! Ih, maluco. Deixa eu ir ficando por aqui porque o 
corolario fugiu pra rua fantasiado de axioma.

Um abraco
Paulo Santa Rita
6,1304,080202


















































>From: ghaeser@zipmail.com.br
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Soma de Potências (de novo)
>Date: Fri, 8 Feb 2002 12:11:23 -0200
>
>Olá pessoal,
>
>Sabemos que a fórmula para sum(i^k,i=1 até n) é um polinômio de grau k+1.
>Verifiquei que quando k é par -1, -1/2 e 0 são raizes !!
>quando k é ímpar e diferente de um, -1 e 0 são raizes duplas.
>
>Verifiquei isso até k=~200.
>
>tentei descobrir isso por 2 métodos diferentes mas não consegui entender
>porque!
>
>a demonstração da fórmula para os 2 métodos e o algorítmo em Mathematica
>4.0 estão em http://www.gabas.cjb.net
>
>1) método: sum(i^k,i=1,n)=sum((i+1)^k,i=1,n)-(n+1)^k+1 ...
>2) método: encontrar P(i) tq P(i)-P(i-1)=i^k e somar para i=1 ate n
>
>"Mathematicus nascitur, non fit"
>Matemáticos não são feitos, eles nascem
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