[obm-l] Alem de Erdos

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

A questao abaixo e uma sofisticacao de um problema proposto por Erdos. O 
problema foi apresentado aqui nesta lista, mas para resolver a forma como 
vou propor e necessario que se saiba rsolver o problema original de forma 
analitica.

PROBLEMA ) Inteiramente contidos no interior de um quadrado de lado unitario 
estao dois outros quadrados de lados A e B, tais que A+B>1.

1) Que condicoes devem satisfazer os quadrados de lados A e B para que a 
regiao de intersecao entre eles tenha area minima  ?
2) Que condicoes devem satisfazer os quadrados de lados A e B para que a 
regiao de intersecao entre eles tenha area K, K > 0 ?
3) Se fossem tres quadrados de lados A, B e C inteiramente contidos  no 
quadrado de lado unitario, que relacao necessaria e suficiente deve existir 
entre A, B e C para exista ao menos um ponto comum aos tres quadrados ?

ORIENTACAO :

A) Use um vetor unitario U=(cos(TETA),sen(TETA)) para carcterizar a 
inclinacao de um quadrado (inclinacao de um lado). O vetor 
V=(-sen(TETA),cos(TETA)) tambem e unitario, perpendicular a U e tem a 
direcao perpendicular ao lado de direcao U.

B) Expresse cada vertice em funcao de um unico vertice. Para cada um destes 
vertices imponha 0 <= VERTICE =< 1. Isto vai gerar as CONDICOES DE 
CONFINAMANETO

c) Mostre, usando A+B>1 que o conjunto das abscissas dos pontos de um 
quadrado nao pode ser disjunto do conjunto das abscissas dos pontos do outro 
quadrado. Isso cria um intervalo de abscissas comum aos dois quadrados.

D)Tracando por cada um dos pontos do intervalo descrito em C uma reta 
vertical, ela devera passar pelo interio dos dois quadrados. Isso implica 
que surgira dois intervalos que sao os pontos Y interiores aos dois 
quadrados. Para cada um destes intervalos defina o maximo e o minimo deles.

E ) Nao haveria intersecao entre os quadrados se, para todo X do intervalo 
comum de abscissas, o maximo Y do intervalo de um quadrado fosse sempre 
estritamente menor que o minimo Y do intervalo do outro quadrado. Mostre que 
isso conduz a um absurdo.

F)Agora, indo alenm de Erdos. Defina uma funcao que para cada X do intervalo 
comum de abscissas associa o minimo Y e o maximo Y da intersecao das 
ordenadas. Isso vai permitir a voce TRACAR A FIGURA DE INTERSECAO. Isso 
resolve todos os problemas acima. A area e a integral desta funcao. O item 
3) e uma consequencia disso.

Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
6,1100,080202



Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
6,1046,080202




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