[obm-l] Notas de Aula

["Eduardo Tengan" <tengan@xxxxxxxxxxxxxx>]

Oi.

Vários professores já disponibilizaram notas de aulas ministradas durante a semana olímpica.  Eles são pessoas dedicadas, organizadas e que tiveram o trabalho e a paciência de compilar suas aulas e torná-las acessíveis ao maior número possível de interessados.  Eu, por outro lado, sou uma pessoa desorganizada, desleixada e preguiçosa e, além disso, ocupada, assim ainda não escrevi nada e acho que não terei tempo para isso nos próximos, digamos, cinco anos.  Para não deixar na mão aqueles que gostariam de estudar o assunto sobre o qual falei (inteiros algébricos), estou enviando uma lista de referências.

Nível III
Não conheço uma fonte adequada para este nível sobre inteiros de Gauss e Eisenstein (Z[i] e Z[w], w^2 + w + 1 = 0).  Aguarde um futuro artigo da Eureka.  Sobre o critério de Lucas-Lehmer, veja as excelentes notas do Gugu e Nicolau---Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes)---disponíveis nas páginas de ambos
    http://www.impa.br/~gugu
    http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html

A seguinte referência, Quadratische Zahlkörper, do Franz Lemmermeyer, trata da aritmética em corpos quadráticos em geral.  As seções iniciais cobrem exatamente o assunto da minha aula e são uma excelente fonte.
    http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/16

Elas estão em alemão.  Se você não fala alemão, não tem problema!  Basta saber ler alemão, que é bem mais simples do que falar.  Se você não sabe ler, bem...  Se alguém da lista lê alemão e se disponibilizar a traduzir alguns trechos, seria legal...  Em todo caso, o seguinte vocabulário pode ajudar, embora as palavras estejam sem tremas:
   http://www.math.princeton.edu/graduate/generals/germanwords.html
   
Por fim, queria recomendar o gnu pari, uma calculadora especializada em teoria dos números (ela trabalha com inteiros de Gauss e Eisenstein e muito mais, além de ter um monte de funções interessantes mesmo para quem só está interessado em teoria elementar dos números: fatoração em primos, resolução de Pell, Bezout, sistemas de congruências, função phi de Euler, entre outros).  Ela foi feita para profissonais, então há várias funções que só interessam a especialistas, mas você pode ignorá-las.
  ftp://megrez.math.u-bordeaux.fr/pub/pari/

Usando o pari, você pode, por exemplo, verificar que e elevado a pi vezes a raiz quadrada de 163 é
   e^(pi*sqrt(163)) = 262537412640768743.9999999996...,
quase um inteiro.  Coincidência?  Não.  De fato, utilizando a função j de Klein (ellj(x) no pari),
   j((1+sqrt(163))/2) = -262537412640768000
é um inteiro! Notam alguma semelhança?  Pois é, conheço uma demonstração maravilhosa para este fato.  Infelizmente a margem deste e-mail é muito curta para contê-la...  De fato, esta explicação requer um livro inteiro e é cheia de pré-requisitos (que podem ser estudados em tempo finito, entretanto) e baseia-se na teoria de formas modulares e na teoria de corpos de classe.  Em suma, por enquanto aquela expressão ali em cima é uma curiosidade apenas.


Nível U
Para este nível, há bem mais material, de dificuldade e profundidade variadas.  A melhor introdução, na minha opinião, é o livro do Ian Steward e David Tall, Algebraic Number Theory:       http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/1568811195/ref=pd_bxgy_text_1/102-1446712-5248159

Este livro aborda vários outros temas importantes dos quais não falei, como o número de classe e o teorema das unidades de Dirichlet.  Equivalentes na web são os seguintes cursos do Robin Chapman, do J. Milne:
   http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/ant.pdf
   http://www.jmilne.org/math/

As notas do Chapman são bem detalhadas.  As do Milne são bem completas.  Na página do Milne, você encontrará outras referências sobre tópicos relacionados, bem como alguns pré-requisitos para ler mais sobre o assunto (teoria de grupos e teoria de Galois, entre outros).
 
Na linha do curso do Lemmermeyer, abordando corpos quadráticos apenas, o Robin Chapman escreveu algumas notas de aula (as do Lemmermeyer são melhores):
   http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/algn.pdf

Pode ser uma boa começar por estas notas, pois elas são curtinhas e dão uma boa idéia de toda a teoria, já que é possível fazer várias contas na "mão" neste caso (infelizmente as provas apresentadas não se generalizam facilmente).

Se você gostou do assunto e quiser estudá-lo para valer, recomendo ler (após o Steward, Tall) o excelente livro do Borevich e Shafarevich, Number Theory (eu disse excelente, não criativo).  Lá você encontra uma introdução bem simples a inteiros p-ádicos, e métodos analíticos importantes e que não são cobertos pelos livros e cursos anteriores, como a função zeta de Dedekind (que é parente próximo da função zeta de Riemann).


Bem, acho que isto é material suficiente para mantê-los ocupados até que eu escreva algo.  Se precisarem de mais, é só pedir!

Até,
ET




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