Re: Consistência da inconsistência???!!!!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Jan 12, 2002 at 04:26:39PM +0000, Rogerio Fajardo wrote:
> Olá a todos,
> 
>    Desculpem incomodar vcs novamente com perguntas de lógica-matemática, 
> metamatemática, teorema de godel, etc. Mas uma coisa me deixou realmente 
> confuso.
>    Pelo segundo teorema de godel, a sentença "ZFC é consistente" é 
> independente de ZFC. Isto significa (se ZFC for consistente) que
> ZFC + "ZFC é inconsistente" é consistente???

Sim. Parece surpreendente? Um modelo para este conjunto de axiomas
parece-se bastante com um modelo usual para a teoria dos conjuntos
mas com o detalhe de não admitir nenhum conjunto *dentro* do modelo
que seja ele próprio um modelo para a teoria dos conjuntos.

Quem acredita na consistência de ZFC deve admitir que existem modelos M
enumeráveis de ZFC: segue do teorema de Lowenheim-Skolem.
Isto não é contraditório com a existência de cardinais
maiores: o conjunto X das partes de N dentro do modelo, por exemplo,
é enumerável pelo ponto de vista de quem está *fora* do modelo mas nenhuma
bijeção entre X e N está *dentro* do modelo M e portanto pelo ponto de
vista de quem está *dentro* de M, X é não enumerável.

É comum admitir a existência de modelos transitivos de ZFC.
Um modelo transitivo nada mais é do que um conjunto transitivo
(satisfazendo os axiomas, claro), ou seja, a relação de 'pertence'
dentro do modelo é a usual. Defina a *altura* de um modelo transitivo
como sendo o conjunto de todos os ordinais no modelo, ou seja, a altura
é o menor ordinal que *não* pertence ao modelo. Ora, se existirem modelos
transitivos existe um modelo de altura mínima e dentro deste modelo
claramente *não* existem modelos transitivos.

Note que PA + "PA não é consistente" também é consistente (desde que PA
seja consistente, claro). Também aqui existem modelos: aritméticas
com naturais infinitos onde há uma 'prova' da inconsistência de PA.
Para nós, claro, este natural infinito não pode ser traduzido em prova
de nada.

[]s, N.