Trigonometria / Fuvest

[Fernando Henrique Ferraz <mentus@xxxxxxxxxx>]

         Estava revisando um problema de Trigonometria e gostaria que 
dessem uma olhada em minha solução para ver se está correta...

         (Fuvest) A equação ax² + bx + c = 0 tem como raízes tg(u) e tg(v). 
com u + v = 45º. Prove que c  = a + b.

         Solução:
         Dado o polinômio ax² + bx + c, também podemos escrevê-lo na forma 
(r1 e r2 sendo suas raízes):
         P(x) = a (x - r1) (x - r2)
         Como temos que r1 e r2 = tg(u) e tg(v)...:
         = a (x - tg(u)) (x - tg(v))
         = (ax - a.tg(u)) (x - tg(v))
         = ax² -a.tg(v).x - a.tg(u).x + a.tg(u).tg(v)
         Igualando membro a membro com o polinômio inicial ax² + bx + c:
         a = a
         -a.tg(v) - a.tg(u) = b
         a.tg(u).tg(v) = c
         Pede-se que c = a + b, então:
         a.tg(u).tg(v)  = a + -a.tg(v) - a.tg(u)
         Dividindo todos os membros por a:
         tg(u).tg(v) = 1 -tg(v) - tg(u)
         Finalmente, lembrando da fórmula de adição de arcos, p/ tg(a+b):
         tg(a + b) = (tg.a + tg.b)/(1 - tg.a . tg.b)
         Se a + b = 45º, tg(a + b) = tg(45) = 1, e então, substituindo a 
por u e b por v:
         1 = (tg.u + tg.v)/(1 - tg.u . tg.v)
         1 -  tg.u . tg.v = tg.u + tg.v <=> tg(u).tg(v) = 1- tg(u) - tg(v)

Achei q ter usado a fórmula da adição da tangente pode ter ficado meio 
forçado, estah ok assim?
Grato...






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