Re: Cardinalidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Dec 27, 2001 at 03:23:32PM +0000, Rogerio Fajardo wrote:
> 
> Olá, colegas da lista,
> 
>   Dados dois conjuntos, A e C, infinitos, com cardinalidade de C maior que 
> de A, é sempre possível achar um conjunto B tal que AxB tem a mesma 
> cardinalidade de C?

Sim, basta tomar B = C.
Para cardinais infinitos x e y vale

x + y = x y = max{x,y}

Isto usa o axioma da escolha. Está demonstrado no livro Set Theory, de Jech.
Dou abaixo um esboço da demonstração.

Como você bem observou, basta provar que sempre temos |A^2| = |A|.
Podemos supor A bem ordenado, isto é, com uma ordem onde todo subconjunto
não vazio tem mínimo (o axioma da escolha garante que todo conjunto admite
uma boa ordem). Podemos ainda supor que para todo x em A o conjunto
{y in A | y < x} tem cardinalidade menor do que A. Caso contrário
procuraríamos x0, o menor x tq este conjunto tem a mesma cardinalidade de A,
e passaríamos a trabalhar com A' = {y in A | y < x0}.

Considere agora a seguinte ordem em AxA:

(x,y) < (x',y') <==>  max{x,y} < max{x',y'}
                               ou
                      max{x,y} = max{x',y'} e x < x'
                               ou
                      max{x,y} = max{x',y'} e x = x' e y < y'.

Não é difícil agora verificar os seguintes fatos sobre AxA:

* AxA é bem ordenado pela relação de ordem definida acima.

* Para todo z in AxA, |{w in AxA | w < z}| < |A|.

Estes fatos são suficientes para demostrar que A e AxA não apenas
têm a mesma cardinalidade mas que existe uma bijeção estritamente
crescente entre A e AxA (com respeito, é claro, às boas ordens acima).

[]s, N.