Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 17:56 14/12/01 -0300, you wrote:
>vc disse sobre as propriedades do sistema formal e
>sobre a consistencia e a completude.Como vc encara o
>antagonismo das duas últimas???Vc apenas sabe o que
>Godel provou ou ENTENDE BEM o que ele demonstrou???è
>uma coisa de fácil entendimento como 2+2=4,ou ele
>demonstrou de forma dificil de se entender e vc só
>memorizou o resultado??Vc está entendendo o que quero
>dizer??O que quero falar se isso é uma coisa clara
>,lógica ,que está na cara ,ou um resultado avançado.

Metendo-me na conversa:

Acho que o teorema de Gödel não é difícil de se entender (talvez entender 
bem o papel da "aritmética de Peano" no enunciado seja o mais confuso), mas 
a demonstração é bem complicada.

Bruno Leite


>--- Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com> escreveu: >
>Ola Rogerio e demais
> > colegas desta lista,
> >
> > E importante que se compreenda corretamente o que e
> > um SISTEMA FORMAL e o
> > que vem a ser COMPLETUDE e CONSISTENCIA num tal
> > sistema. Estes sistemas tem,
> > a grosso modo :
> >
> > 1) Objetos indefinidos ( ou primitivos )
> > 2) proposicoes primitivas ( ou axiomas, ou
> > postulados )
> >
> > NAO SE PODE ATRIBUIR AOS OBJETOS PRIMITIVOS NENHUMA
> > PROPRIEDADE DITADA POR
> > UMA EVENTUAL REPRESENTACAO MENTAL E INTUITIVA QUE
> > TENHAMOS DELES. Tudo que
> > se falar sobre os objetos deve ser uma consequencia
> > logica dos axiomas e dos
> > teoremas que ja tenhamos demonstrado. Pode-se
> > construir novos objetos em
> > estrita obediencia as regras de construcao.
> >
> > 1)Um sistema formal e CONSISTENTE se nao for
> > possivel provar uma afirmacao e
> > a sua negacao, isto e, exemplificando, se eu provar
> > que "A e B" eu nao
> > poderei provar que "A e nao B"
> >
> > 2)Um sistema formal e COMPLETO se todas as
> > afirmacoes sobre os objetos puder
> > ser provada com os recursos de inferencia do proprio
> > sistema, isto e, nao
> > pode haver uma propriedade usufruida por alguns
> > objetos do sistema que seja
> > indemonstravel com os recursos de inferencia do
> > sistema.
> >
> > Em geral, criar uma sistema formal e, em geral, um
> > dos objetivos perseguidos
> > para qualquer ramo da matematica, sobretudo quando
> > ele ja esta
> > suficientemente maduro e ja deu bons resultados.
> >
> > A grosso modo, o que Godel mostrou e que os dois
> > conceitos acima, de
> > COMPLETUDE e INCONSISTENCIA, sao antagonicos para
> > qualquer sistema formal
> > que use minimos recursos da Aritmetica, isto e :
> >
> > "Se o sistema formal for COMPLETO, isto e, toda
> > afirmacao sobre os objetos
> > do sistema puderem ser demonstradas com os recursos
> > de inferencia do
> > sistema, entao ele sera INCONSISTENTE, vale dizer,
> > nos seremos capazes de
> > provar uma teorema e a negacao dele; Se, por outro
> > lado, o sistema formal
> > for CONSISTENTE, isto e, se nunca poder acontecer de
> > provarmos um teorema e
> > a sua negacao, entao ele sera INCOMPLETO, vale
> > dizer, haverao propriedades
> > validas dos objetos do sistema que nos nao seremos
> > capazes de provar com os
> > recursos de inferencia do proprio sistema."
> >
> > Nao existe Teorema da Completude na Geometria
> > Euclidiana. Nao no sentido de
> > COMPLETUDE de um sistema formal. Hilbert mostrou que
> > a geometria euclidiana
> > seria consistente, se a algebra tambem fosse. Mas a
> > consistencia da Algebra
> > depende da Aritmetica e a prova da consistencia
> > desta ultima parece muito
> > dificil de ser conseguida ...
> >
> > Ate parece, numa primeira apreciacao, que o Teorema
> > de Godel e algo ruim e
> > negativo... Ele sulapou o sonho de Hilbert e de
> > todos os Matematicos
> > formalistas, que com seus sistemas formais, tiravam
> > o sentido intuitivo que
> > damos aos objetos matematicos, reduzindo a
> > Matematica a um jogo logico sem
> > graca, sem semantica e sem sentido.
> >
> > Observe que COMPLETUDE e CONSISTENCIA sao
> > propriedade DO SISTEMA FORMAL, nao
> > de um de seus objetos : sao portanto propriedades do
> > TODO. Visto por este
> > angulo, Godel mostrou que o TODO tem propriedades (
> > consistencia, completude
> > )  que sao inacessiveis ou inesplicaveis pela mera
> > consideracao das partes
> > que o compoe O TODO, isto e, O TODO E MAIS QUE A
> > MERA SOMA DAS PARTES. O
> > cara formalista pressupoe justamente o contrario.
> > Ele pensa que conhecendo
> > bem as partes ( axiomas, teoremas, objetos
> > indefinidos ) vai poder explicar
> > ( demonstrar ) tudo que aparecer ou ocorrer na
> > frente dele. E o SONHO
> > EISNTENIANO de encontrar UM CONJUNTO DE EQUACOES QUE
> > EXPLICAM TODO O
> > UNIVERSO.
> >
> > Godel, nos permitiu comecar a pensar NO SENTIDO, NA
> > SEMANTICA, NO FIM, NA
> > FUNCAO, NO PAPEL, NA INTERPRETACAO TELEOLOGICA, como
> > algo mais que mera
> > filosofia barata. Se se retirar o sentido das
> > coisas, as coisa perdem o
> > sentido. Agora, como articular de forma consistente
> > e seria este sentido ?
> >
> > Todos os danos que estamos causando ao mundo
> > natural, que vem ha anos
> > preocupando ecologistas do mundo inteiro, promanam
> > de nossa ignorancia com
> > respeito ao papel e o sentido dos fenomenos. O ideal
> > seria que nos nos
> > relacionassemos com a natureza respeitando os seus
> > acontecimentos ou o papel
> > que cada coisa tem. Todavia, quem tem que dar esta
> > linguagem, como sempre, e
> > a Matematica, e muito provavelmente foi o Teorema de
> > Godel o primeiro passo
> > neste sentido.
> >
> > Um abraco
> > Paulo Santa Rita
> > 6,1500,141201
> >
> >
> >
> > >From: "Rogerio Fajardo"
> > <rogeriofajardo@hotmail.com>
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >Subject: Completude da Geometria e Teorema de Godel
> > >Date: Fri, 14 Dec 2001 14:08:24 +0000
> > >
> > >Olá,
> > >
> > >  O que diz o teorema da completude da geometria
> > euclideana? Alguns livros
> > >chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e
> > parece que diz que todos os
> > >modelos (para geom. euclideana) são isomorfos entre
> > si. Mas isso não
> > >implica
> > >que não existe sentenças independentes na geom.
> > euclideana? E isso não
> > >contraria o Teorema de Godel (afinal, na geometria
> > eu posso expressar a
> > >aritmética)?
> > >
> > >Rogério
> > >
> > >
> >
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