Re: 2_questões...

[Carlos Maçaranduba <soh_lamento@xxxxxxxxxxxx>]

 --- "henrique.vitorio" <henrique.vitorio@bol.com.br>
escreveu: >         
>     Oi, 
>     Saudações a todos,meu nome eh Henrique(sow de 
> Recife) e sow novo nessa lista.Entaum..aí vaum umas 
> questões que gostaria que me ajudassem..... 
>   1- encontre todas soluções inteiras positivas de: 
>    7^(x) + 1 = 5^(z) + 3^(y) (nessa questão soh
> consegui 
> mostrar que x,y e z têm que ser ímpar). 

gostaria de ver como vc provou que todos devem ser
ímpares pois,tirando a solução trivial(1,1,1),temos
três  tipos de padroes para x e y mod4 .Se isso for
verdade ,apenas quando xmod4=1 e ymod=1 é que é uma
caracteristica da solução.Veja só:


as potencias sucessivas de 7 ,terminam em 7 , 9 , 3 e
1 sempre nesta ordem ou seja pegue o x e divida por 4
e pegue o resto.Se resto =1,termina em 7 ,se resto
igual a 2 termina em 9 ,se resto=3 termina em 3 ,se
resto =0 termina em 1.OU SEJA NO 1° MEMBRO O ALGARISMO
DA UNIDADE SÓ PODE SER 8 ,0 ,4 E 2(SOMANDO-SE O
1),PORTANTO NO 2° MEMBRO, O ALGARISMO DA UNIDADE DEVE
TER UMA DESSAS TERMINAÇÕES.COMO 5 ELEVADO A QUALQUER
NATURAL TERMINA EM 5 ,ENTAO PARA QUE NO 2° MEMBRO
TENHA AS TERMINAÇOES DO 1°MEMBRO SOMADO AO 5 ,SO PODEM
SER 5 + '5'-> 0 , 5 + '9'-> 4 , 5 + '7'-> 2 e 5 +
'3'-> 8,ou seja a potencia de 3 deve terminar com um
desses números aspeados.Se fizer as potencias
sucessivas de 3 ,sempre obterá nas unidades 3, 9 ,7 e
1 ou seja: 

ymod4=1-> termina em 3
ymod4=2-> termina em 9
ymod4=3-> termina em 7
ymod4=0-> termina em 1
 
Perceba que a potencia de 3 nunca termina em 5.

entao as combinações só podem ser essas:

Se xmod4=3 -> ymod4=2 para todo z.
x é impar e y é par. 

Se xmod4=0 -> ymod4=3 para todo z.
x é par e y é impar.

Se xmod4=1 -> ymod4=1 para todo z.
x e y são impares.

Se sua prova estiver correta essa última seria a única
solução.Ou seja x e y divididos por 4 sempre tem que
deixar resto 1 .Gostaria que vc enviasse a prova.

è sempre bom ter um conterraneo.

"O plano decisivo entre a certeza e a incerteza é o
próprio eu" (Montaigne)


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