Re: 2 questões...

[Alexandre Tessarollo <tessa@xxxxxxxx>]

"henrique.vitorio" wrote:
> 
> 
>     Oi,
>     Saudações a todos,meu nome eh Henrique(sow de
> Recife) e sow novo nessa lista.Entaum..aí vaum umas
> questões que gostaria que me ajudassem.....

	Bem-vindo...

>   1- encontre todas soluções inteiras positivas de:
>    7^(x) + 1 = 5^(z) + 3^(y) (nessa questão soh consegui
> mostrar que x,y e z têm que ser ímpar).
>   2-Sabe-se que os vértices de um triângulo pertencem à
> hipérbole xy=1.Prove que seu ortocentro também pertence
> a essa hipérbole.


	Bem, sejam A(a,1/a), B(b,1/b) e C(c,1/c) os vértices do triângulo e
suas respectivas coordenadas. Os coeficientes angulares das retas AB e
AC são -1/ab e -1/ac respectivamente. Assim, as alturas relativas a
esses lados terão coeficintes angulares ab e ac, respectivamente.
Completando as equações dessas alturas, ficam, respectivamente:
y = abx + 1/c - abc
y = acx + 1/b - abc

	Para achar o ortocentro, basta resolver o sistema. encontraremos
x=-1/abc e y=-abc, logo, xy=1, CQD...

	Sei que não expliquei tão bem quanto deveria, mas tenho o péssimo
hábito de checar e responder e-mails de madrugada. De qualquer forma,
usei o fato de que os três vértices estavam sobre a hipérbole xy=1
quando disse que A era (a, 1/a), por exemplo. Depois tirei a equação de
dois lados, das perpendiculares a esses lados passando pelo vértice
oposto e fiquei com duas equações. Como sabia que o único ponto em comum
era o ortocentro, bastou resolver o sistema e pronto. Para concluir,
bastou notar que, para quaisquer A, B e C na hipérbole xy=1, o
ortocentro de ABC também estará nessa hipérbole, C.Q.D.

> 
>      Desde jah agradeço....Falow!
>                      Henrique

[]'s

Alexandre Tessarollo