Ola colegas da lista! Gostaria que os srs escrevessem falassem qual é a
resposta mais adequada da questao mais comentada do ITA 2002, já que sei
que todos por aqui gostam e sabem muito de matematica.
O Curso Anglo dá como gabarito a letra A
Os demais cursinhos (ETAPA, Objetivo, Poliedro, Alferes e COC) dão como
gabarito a letra E.
Irei transcrever o problema ,a solução do Anglo e a solucao do ETAPA.
Gostaria de saber da opiniao dos srs. Qual cursinho está correto
ENUNCIADO:
O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida
beneficente de bicicletas: Alguns se-gundos
após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e
Rubinho, nesta ordem. Daí
em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em
nenhum momento da corrida, estiveram
lado a lado mais do que dois
competidores. A liderança, no entanto,
mudou de mãos nove vezes entre os
três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam
na segunda e terceira posições
trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou
para nossos repórteres que
David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da
bandeirada de chegada. Desse
modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da
corrida.
Com base no trecho acima, você conclui que
A) David ganhou a corrida.
B) Ralf ganhou a corrida.
C) Rubinho chegou em terceiro lugar.
D) Ralf chegou em segundo lugar.
E) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não
apresenta uma descrição matema-ticamente
correta.
RESOLUCOES: ANGLO - LETRA A:
Para que Ralf ganhe a c
orrida, é necessário que ele participe de um
número par de trocas de liderança,
algumas com David e outras com Rubinho.
Como o número de trocas de liderança é nove, devemos ter um número ímpar
de trocas de liderança
sem a participação de Ralf, ou seja, entre David e Rubinho.
Sabemos, do enunciado, que Rubinho começa e termina a corrida atrás de
David. Assim, o número total
de trocas de posição entre eles é necessariamente par.
Como é ímpar o número de trocas entre David e Rubinho na liderança, deve
também ser ímpar o nú-mero
de trocas entre eles na segunda e terceira posições.
Sabemos, também do enunciado, que o número de trocas entre o segundo e o
terceiro colocados é oito e,
portanto, Ralf deve participar, necessariamente, de
um número ímpar
delas.
Como Ralf começa a corrida em primeiro lugar, ele deve perder a
liderança antes de participar de uma
de suas trocas entre a segunda e a terceira posição. Trocas essas que
ele inicia como segundo colocado.
Sendo ímpar o número de trocas entre a segunda e a terceira posição, com
a participação de Ralf, ao
final dessas trocas ele estará na terceira posição, não podendo, assim,
reassumir a liderança.
Portanto não é possível que Ralf ganhe a corrida, e como o enunciado
afirma que Rubinho terminou a
corrida atrás de David, podemos concluir que David ganhou a corrida.
ETAPA - LETRA E:
Representemos Ralf por 1, David por 2 e Rubinho
por 3. Em cada momento da corrida, a
classifica-ção é uma terna ordenada desses três números
ou es
tá ocorrendo uma inversão (troca de
posi-ções entre dois ciclistas).
Como a liderança mudou de mãos 9 vezes, e em
mais 8 ocasiões aqueles que corriam na segunda
e terceira posições trocaram de lugar entre si,
houve no total 17 inversões.
Temos que, após um número ímpar de inversões,
podemos obter somente as classificações (2; 1; 3),
(1; 3; 2) e (3; 2; 1).
Rubinho chegou logo atrás de David, portanto a
classificação final é (1; 2; 3) ou (2; 3; 1).
Nenhu-ma das quais poderia ter sido obtida com um
nú-mero ímpar de inversões.
Conseqüentemente, não é possível determinar a
ordem de chegada, porque o trecho não
apresen-ta uma descrição matematicamente correta.
POLIEDRO: RESPOSTA E:
Como Rubinho deve terminar a corrida l
ogo atrás de David, podemos ter
duas
possibilidades para o resultado da corrida:
1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (A)
ou
1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf (B)
A primeira possibilidade é a mesma do início da corrida. Para que Ralf
termine em
primeiro lugar, ele deve trocar de posição um número par de vezes.
Para David e Rubinho também terminarem na mesma posição em que estavam,
devem
trocar de lugar um número par de vezes. Assim, essa possibilidade não
pode ocorrer.
Considere, agora, a segunda possibilidade. Antes de os concorrentes
chegarem à
posição final, eles poderiam ter estado nas seguintes configurações:
1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho (C)
ou
1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (D)
Na opção (C), já realizamos uma troca entre o segundo e terceiro
lugares, restando 9
trocas entre 1 o e 2 o e 7 trocas entre 2 o e 3 o . Rubinho começou em
último lugar e deve
continuar ali, devendo passar por um número par de trocas. Porém,
devemos realizar 7
trocas de 2 o e 3 o lugar, não sendo possível que Rubinho ali permaneça.
Falta a opção (D). Da posição inicial até a (D), devemos passar pelas
seguintes
configurações:
1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (posição inicial)
1 troca
1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho
1 troca
1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf
1 troca
1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (E)
Restam, então, 7 trocas entre 1 o e 2 o lugar e 7 trocas entre 2 o e 3 o
lugares. Porém, (E) é
igual a (D), e devemos ter um número par de trocas até o final (mesmo
raciocínio do
primeiro caso).
Assim, não há posiç&a
tilde;o final válida com as condições indicadas.
Obrigado pessoal!
--
"Now I will have less distraction."
[upon losing the use of his right eye]
Leonhard Euler