Re: ITA 2002 - Problema 12 - Divergencia entre os cursinhos!

[Gustavo Nunes Martins <namosca@xxxxxxxxxx>]

RA
DA
RU

Eu entendi que "mudando 9 vezes no entre os 3" quisesse dizer que dentro
daquele grupo teve 9 mudancas (poderia ser so do 1º com o 2º).
Entao, com essa condicao, vamos fazer RA-DA, DA-RA, RA-DA, ..., DA-RA
E, DEPOIS, as 8 vezes entre os 2 ultimos: RA-RU, RU-RA, RA-RU, ..., RA-RU

Entao seria o resultado final DA-RA-RU, respectivamente.

Ou muda-se os 2 primeiros 1 vez, que fica DA-RA
Depois os 2 ultimos 8 vezes, que da RA-RU
E depois os 2 primeiros 8 vezes, que resulta em RA-DA

Entao seria RA-DA-RU

Eu vi 3 respostas praquela questao da mola de fisica, que inicialmente esta
comprimida de 2cm, etc. Um lugar disse que era 0,35s; outro, 0,5s; outro,
0,25s. Quanto voces acharam?

niski wrote:

> Ola colegas da lista! Gostaria que os srs escrevessem falassem qual é a
> resposta mais adequada da questao mais comentada do ITA 2002, já que sei
> que todos por aqui gostam e sabem muito de matematica.
>
> O Curso Anglo dá como gabarito a letra A
> Os demais cursinhos (ETAPA, Objetivo, Poliedro, Alferes e COC) dão como
> gabarito a letra E.
>
> Irei transcrever o problema ,a solução do Anglo e a solucao do ETAPA.
> Gostaria de saber da opiniao dos srs. Qual cursinho está correto
>
> ENUNCIADO:
> O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida
> beneficente de bicicletas: Alguns se-gundos
> após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e
> Rubinho, nesta ordem. Daí
> em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em
> nenhum momento da corrida, estiveram
> lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto,
> mudou de mãos nove vezes entre os
> três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam
> na segunda e terceira posições
> trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou
> para nossos repórteres que
> David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da
> bandeirada de chegada. Desse
> modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da
> corrida.
> Com base no trecho acima, você conclui que
> A) David ganhou a corrida.
> B) Ralf ganhou a corrida.
> C) Rubinho chegou em terceiro lugar.
> D) Ralf chegou em segundo lugar.
> E) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não
> apresenta uma descrição matema-ticamente
> correta.
>
> RESOLUCOES: ANGLO - LETRA A:
> Para que Ralf ganhe a corrida, é necessário que ele participe de um
> número par de trocas de liderança,
> algumas com David e outras com Rubinho.
> Como o número de trocas de liderança é nove, devemos ter um número ímpar
> de trocas de liderança
> sem a participação de Ralf, ou seja, entre David e Rubinho.
> Sabemos, do enunciado, que Rubinho começa e termina a corrida atrás de
> David. Assim, o número total
> de trocas de posição entre eles é necessariamente par.
> Como é ímpar o número de trocas entre David e Rubinho na liderança, deve
> também ser ímpar o nú-mero
> de trocas entre eles na segunda e terceira posições.
> Sabemos, também do enunciado, que o número de trocas entre o segundo e o
> terceiro colocados é oito e,
> portanto, Ralf deve participar, necessariamente, de um número ímpar
> delas.
> Como Ralf começa a corrida em primeiro lugar, ele deve perder a
> liderança antes de participar de uma
> de suas trocas entre a segunda e a terceira posição. Trocas essas que
> ele inicia como segundo colocado.
> Sendo ímpar o número de trocas entre a segunda e a terceira posição, com
> a participação de Ralf, ao
> final dessas trocas ele estará na terceira posição, não podendo, assim,
> reassumir a liderança.
> Portanto não é possível que Ralf ganhe a corrida, e como o enunciado
> afirma que Rubinho terminou a
> corrida atrás de David, podemos concluir que David ganhou a corrida.
>
> ETAPA - LETRA E:
> Representemos Ralf por 1, David por 2 e Rubinho
> por 3. Em cada momento da corrida, a
> classifica-ção é uma terna ordenada desses três números
> ou está ocorrendo uma inversão (troca de
> posi-ções entre dois ciclistas).
> Como a liderança mudou de mãos 9 vezes, e em
> mais 8 ocasiões aqueles que corriam na segunda
> e terceira posições trocaram de lugar entre si,
> houve no total 17 inversões.
> Temos que, após um número ímpar de inversões,
> podemos obter somente as classificações (2; 1; 3),
> (1; 3; 2) e (3; 2; 1).
> Rubinho chegou logo atrás de David, portanto a
> classificação final é (1; 2; 3) ou (2; 3; 1).
> Nenhu-ma das quais poderia ter sido obtida com um
> nú-mero ímpar de inversões.
> Conseqüentemente, não é possível determinar a
> ordem de chegada, porque o trecho não
> apresen-ta uma descrição matematicamente correta.
>
> POLIEDRO: RESPOSTA E:
>
> Como Rubinho deve terminar a corrida logo atrás de David, podemos ter
> duas
> possibilidades para o resultado da corrida:
> 1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (A)
> ou
> 1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf (B)
> A primeira possibilidade é a mesma do início da corrida. Para que Ralf
> termine em
> primeiro lugar, ele deve trocar de posição um número par de vezes.
> Para David e Rubinho também terminarem na mesma posição em que estavam,
> devem
> trocar de lugar um número par de vezes. Assim, essa possibilidade não
> pode ocorrer.
> Considere, agora, a segunda possibilidade. Antes de os concorrentes
> chegarem à
> posição final, eles poderiam ter estado nas seguintes configurações:
> 1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho (C)
> ou
> 1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (D)
> Na opção (C), já realizamos uma troca entre o segundo e terceiro
> lugares, restando 9
> trocas entre 1 o e 2 o e 7 trocas entre 2 o e 3 o . Rubinho começou em
> último lugar e deve
> continuar ali, devendo passar por um número par de trocas. Porém,
> devemos realizar 7
> trocas de 2 o e 3 o lugar, não sendo possível que Rubinho ali permaneça.
> Falta a opção (D). Da posição inicial até a (D), devemos passar pelas
> seguintes
> configurações:
> 1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (posição inicial)
> 1 troca
> 1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho
> 1 troca
> 1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf
> 1 troca
> 1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (E)
> Restam, então, 7 trocas entre 1 o e 2 o lugar e 7 trocas entre 2 o e 3 o
> lugares. Porém, (E) é
> igual a (D), e devemos ter um número par de trocas até o final (mesmo
> raciocínio do
> primeiro caso).
> Assim, não há posição final válida com as condições indicadas.
>
> Obrigado pessoal!
> --
> "Now I will have less distraction."
> [upon losing the use of his right eye]
> Leonhard Euler