Re: Teoria dos números

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 16:17 09/12/01 -0200, you wrote:
>At 11:41 09/12/01 -0500, you wrote:
>>   Olá colegas,
>>   obrigado pela atenção na questão de potências e, relativo a ela, onde 
>> encontro a RPM 26 ?
>>   Agora, teve uma questão do IME que um aluno me mostrou e só sei 
>> resolver usando o pequeno teorema de Fermat, gostaria de saber se há 
>> outra resolução.
>>   Trata-se de provar que K e K^5 terminam com o mesmo algarismo para 
>> todo K inteiro.
>>   Prova-se usando que K^5 - K é divisível por dois e por 5 (onde se usa 
>> o pequeno teorema).
>>   Acho que pode haver outra resolução pois não acredito que o IME queria 
>> cobrar o pequeno teorema de Fermat, ou será possível ?
>>   Obrigado pela atenção,
>>      Raul
>
>Se k é ímpar, k^5 é impar. Se k é par, k^5 é par. Logo k^5-k é par sempre. 
>Agora vamos mostrar que k^5-k é multiplo de 5. Divida  k por 5. teremos 
>k=5a+b com 0<=b<=4. Então k^5-k=k(k^4-1)=(5a+b)[(5a+b)^4-1]. fazendo as 
>contas e testando os 5 valores possiveis para b, temos que k^5-k é 
>múltiplo de 5. (há várias outras maneiras de fazer isso sem usar teorema 
>de Fermat)
>
>Bruno Leite


pensei em outra maneira de resolver isto. Temos que k(k^4-1) é múltiplo de 
5 se e só se k(k^4-5k^2+4) é multiplo de 5. mas 
k(k^4-5k^2+4)=k(k^2-1)(k^2-4)=(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2), e o produto de 5 
números consecutivos é múltipo de 5!

Bruno Leite