-----Mensagem Original-----
Enviada em: Quinta-feira, 29 de
Novembro de 2001 17:05
Assunto: Pergunta intrigante
Há pouco tempo um aluno me perguntou
sobre uma questao do IME 2001, que pedia para demonstrar que (x + y + z)/3
>= 3r(xyz), x>0, y>0, z>0 onde 3r está representando "raiz
cúbica de" e >= o sinal de "maior ou igual a"
Nós já havíamos trabalhado por alto a
desigualdade das médias, daí ele me fez a pergunta que eu nao soube
responder:
"Ora, sabemos que a média aritmética de
n termos é maior ou igual à média geométrica destes termos. Como vale para
n, vale para 3. Resolvido o problema?"
Minha opiniao PARTICULAR é q
nao...
É óbvio que eu nao defendo a teoria de
que pra usar "Pitágoras" em uma prova temos de antes
demonstrá-lo...
Mas também acho que deve haver bom
senso na resolucao de uma prova. O que vocês da lista têm a
dizer?
Eu resolveria a questao da seguinte
maneira:
Seja nr(x) a raiz de índice n do número x.
1) Primeiro provemos que (x+y)/2 >= 2r(xy)
--> (x+y) >= 2* 2r(xy) --> (x+y)^2 >= 4xy
-->
(x-y)^2 >= 0, que é sempre verdadeiro.
Assim, analogamente (z+w)/2 >=
2r(zw) e (c+d)/2 >=
2r(cd)
Seja (x+y+z+w)/4 = a.
a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2 >= [2r(xy) +
2r(zw)]/2
Se c = 2r(xy) e d = 2r(zw), vem:
a >= (c+d)/2 >= 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] =
4r(xyzw)
Fazendo w = (x+y+z)/3, vem:
a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 =
w
Como a >= 4r(xyzw), entao:
w >= 4r(xyzw) --> w^4
>= xyzw --> w^3 >= xyz
Ou:
(x+y+z)/3 >= 3r(xyz), c.q.d.