Re: Pergunta intrigante

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

 Para n=3, existe um modo fácil de ver a desigualdade. Basta ver que
  (x + y + z)(x^2+ y^2+ z^2 - xy- yz- zx)>= 0
 Provando a média para dois números, a segunda expressão em parênteses é
>= 0, cqd 



-- Mensagem original --

>    Há pouco tempo um aluno me perguntou sobre uma questao do IME 2001,
que
>pedia para demonstrar que (x + y + z)/3 >= 3r(xyz), x>0, y>0, z>0 onde
3r
>está representando "raiz cúbica de" e >= o sinal de "maior ou igual a"
>
>    Nós já havíamos trabalhado por alto a desigualdade das médias, daí
ele
>me fez a pergunta que eu nao soube responder:
>
>    "Ora, sabemos que a média aritmética de n termos é maior ou igual à
média
>geométrica destes termos. Como vale para n, vale para 3. Resolvido o problema?"
>
>    Minha opiniao PARTICULAR é q nao...
>
>    É óbvio que eu nao defendo a teoria de que pra usar "Pitágoras" em
uma
>prova temos de antes demonstrá-lo...
>
>    Mas também acho que deve haver bom senso na resolucao de uma prova.
O
>que vocês da lista têm a dizer?
>
>    Eu resolveria a questao da seguinte maneira:
>
>Seja nr(x) a raiz de índice n do número x.
>
>1) Primeiro provemos que (x+y)/2 >= 2r(xy)  -->  (x+y) >= 2* 2r(xy) -->

>(x+y)^2 >= 4xy -->
>
>(x-y)^2 >= 0, que é sempre verdadeiro.
>
>Assim, analogamente (z+w)/2 >= 2r(zw)     e   (c+d)/2 >= 2r(cd)
>
>Seja (x+y+z+w)/4 = a.
>
>a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2  >=  [2r(xy) + 2r(zw)]/2
>
>Se c = 2r(xy) e  d = 2r(zw), vem:
>
>a >= (c+d)/2 >= 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] = 4r(xyzw)
>
>Fazendo w = (x+y+z)/3, vem:
>
>a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 = w
>
>Como a >= 4r(xyzw), entao:
>
>w >= 4r(xyzw)   -->   w^4 >= xyzw  -->  w^3 >= xyz
>
>Ou:
>
>(x+y+z)/3 >= 3r(xyz),   c.q.d.
>
>
>
>
>

[]'s, Yuri
ICQ: 64992515


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