Re: ajuda

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Seja N = (1 + p + p^2 + p^3 + p^4 )^(0.5) inteiro.
(1-p+p^2)^2 = 1+p^2+p^4 - 2p - 2p^3+2p^2 = N^2 - (3p^3+3p-2p^2) < N^2
(1+p+p^2)^2 = 1+p^2+p^4 + 2p + 2p^3+2p^2=N^2+ (p+2p^2+p^3) > N^2
Logo, 1-p+p^2 < N < 1+p+p^2
Por outro lado, vc sabe que N^2 = 1 mod p, e como p eh primo, isso implica
N=1 ou -1mod p
Portanto, como os dois numeros da desigualdade acima sao 1 mod p, e a
diferenca entre eles eh 2p, os valore possiveis para N sao:
1 modp: (1+p^2)
-1modp: (-1+p+p^2)
Testando:
1o caso: vc precisa que (1+p^2)^2 = 1+2p^2+p^4=1+p+p^2+p^3+p^4 ou seja,
p^2 = p + p^3 o que eh impossivel se p>1.
2o caso: (-1+p+p^2)^2 = 1+p+p^2+p^3+p^4  => .... => p=3 (unica solucao).
Logo, a resposta eh p=3.

Apenas dois comentarios:
    Do jeito que vc escreveu a questao, determine "o" no primo p ... eh
facil. Admitindo que o enunciado esteja certo e soh exista um valor de p, vc
nota logo que p=3 funciona.
    Com uma ideia um pouco melhorada, vc pode mostrar que 1 e 3 sao de fato
os unicos inteiros p para os quais N eh inteiro.

2. f(x-f(y))=1-x-y
.    x=0 => f(-f(y))=1-y => f eh injetora (pois f(a)=f(b)=>
f(-f(a))=f(-f(b))=>1-a=1-b=>a=b).
.    x=-y => f[-y-f(y)]=1
Logo, como f eh injetora, -y-f(y) = k constante.
Logo, f(y) = -y -k
Testando, f[x+y+k]=-(x+y+k)-k = -x-y-2k, que eh soh eh igual a 1-x-y se
k=-1/2.
Logo, a unica solucao eh f(x)= -x+1/2 para todo x real.

3. Esse problema eh mto parecido com um que caiu numa das primeiras
olimpiadas internacionais.
Primeiro, note que 2000 = 2 mod 9.
Logo, 2000^3 = -1mod 9, e 2000^1998=(2000^3)^666=1mod9
Logo, 2000^2000 = 1.2.2 = 4 mod 9.
Por outro lado, log(2000^2000) = 2000log(2000) = 2000log2 + 6000
Como log2 = 0.3010 (+-), log(2000^2000) = ...
A partir daqui vc vai limitando o valor maximo que cada q(.) pode valer,
ateh concluir que
q(q(q(.)))) eh algum numero menor que 13, e portanto tem que ser 4.


Abracos,
Marcio

PS: Acabei de ver que o Marcelo Rufino mandou a solucao para os 3. Como eu
ja tinha digitado isso, e as solucoes para os dois primeiros sao diferentes
da dele, vou mandar assim mesmo..

----- Original Message -----
From: "Fernanda Medeiros" <femedeiros2001@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, November 24, 2001 12:48 AM
Subject: ajuda


>   Olá pessoal,
> Gostaria de ajuda nestas 3 questões:
> 1: determine o nº p,primo, tal que 1 + p + p^2 + p^3 + p^4 seja quadrado
> perfeito
> 2: determine todas as funções f:R->R q satisfazem a
>   f(x-f(y))=1-x-y , x,y reais.
> 3: seja q(n) a soma dos algarismos de n. qual o valor de
q(q(q(2000^2000)))
>
>   Obrigada
>       Fê
>
>
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