Re: ajuda

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Estas questões estão propostas na Eureka! 11, na seção Olimpíadas ao Redor
do Mundo. Como nem todas as questões propostas aparecem com solução no
número seguinte, acho interessante que alguns problemas fossem resolvidos
aqui na lista. Abaixo estão as soluções que eu enviei para a OBM para as
questões que a Fernanda mandou para a lista.

>   Olá pessoal,
> Gostaria de ajuda nestas 3 questões:

> 1: determine o nº p,primo, tal que 1 + p + p^2 + p^3 + p^4 seja quadrado
> perfeito

Inicialmente note que  1 + p + p^2 + p^3 + p^4  é sempre ímpar.
Se p = 2   =>   1 + p + p^2 + p^3 + p^4 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31  que não é
um quadrado perfeito.
1 + p + p^2 + p^3 + p^4 = x^2   =>   x^2 - 1 = p + p^2 + p^3 + p^4   =>
  (x - 1)(x + 1) = p(p + 1)(p^2 + 1)
Como x é ímpar,  então  x - 1  e  x + 1  são dois números inteiros pares
consecutivos, ou seja, mdc (x - 1, x + 1) = 2.
Sabemos também que  mdc (p, p + 1) = 1  e  mdc (p, p^2 + 1) = 1.
Note que  mdc (p + 1, p^2 + 1) = mdc (p^2 + 2p + 1, p^2 + 1) = mdc (2p, p^2
+ 1) = mdc (2, p^2 + 1) = 2.
Desta forma, temos somente uma possibilidade:
x - 1 = p^2 +1
x + 1 = p(p + 1)
Assim: 2 = p^2 + p - p^2 - 1   =>   p = 3.
Conferindo:  1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 = 121 = 112.



> 2: determine todas as funções f:R->R q satisfazem a
>   f(x-f(y))=1-x-y , x,y reais.

Na expressão  f(x - f(y)) = 1 - x - y, temos que a imagem de f(x - f(y)) é
formada por todos os valores que pode assumir a expressão 1 - x - y. Como x
e y são números reais quaisquer, então  1 - x - y  pode assumir qualquer
valor real, implicando que f(x - f(y)) pode assumir qualquer valor real,
fazendo com que f(x - f(y)) seja sobrejetora, o mesmo valendo para f(x), uma
vez que os valores assumidos por f(x - f(y)) formam um subconjunto dos
valores assumidos por f(x).
Desde que f(y) pode assumir qualquer valor real, então podemos fazer  f(y) =
x:
f(0) = 1 - f(y) - y   =>   f(y) = 1 - y - f(0).
Fazendo y = 0   =>   f(0) = 1 - 0 - f(0)   =>   f(0) = 1/2
Assim:  f(y) = - y + 1/2.



> 3: seja q(n) a soma dos algarismos de n. qual o valor de
q(q(q(2000^2000)))

Como  2000 = 2.10^3   =>   2000^2000 = 2^2000.10^6000
Assim: q(2000^2000) = q(2^2000.10^6000) = q(2^2000).
Seja N(n) o número de dígitos de n.
N(2^2000) = [log 2^2000] + 1 = [2000.log 2] + 1
Como log 2 = 0,30103, então N(2000^2000) = 603
Como o maior número que possui 603 dígitos é aquele formado somente por
dígitos 9, então:
q(2^2000) < 9(603)   =>   q(2^2000) < 5427
Dentre todos os números menores que 5427, o que possui maior soma dos
algarismos é 4999.
Assim:  q(q(2^2000)) < q(4999) = 4 + 9 + 9 + 9 = 31.
Dentre todos os números menores que 31, o que possui maior soma dos
algarismos é 29.
Assim: q(q(q(2^2000))) < q(29) = 2 + 9 = 11
Sabemos também que  n = q(n) = q(q(n)) = q(q(q(n))) (mod. 9), ou seja:
2000^2000 = (2 + 0 + 0 + 0)^2000 (mod. 9)   =>   2000^2000 = 2^2000 (mod. 9)
Note que:  2^3 = - 1 (mod. 9)   =>   (2^3)^666 = (- 1)^666 (mod. 9)   =>
2^1998 = 1 (mod. 9)   =>   2^2000 = 4 (mod. 9)
Assim, já obtivemos que:   q(q(q(2000^2000))) = 4 (mod. 9)   e
q(q(q(2000^2000))) < 11.
Desde que o único número menor que 11 que deixa resto 4 na divisão por 9 é
4, então q(q(q(2000^2000))) = 4.


>
>   Obrigada
>       Fê
>
>

Espero que estejam corretas as soluções.

Até mais,
Marcelo Rufino

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