Re: RES: IME (era: "Re:dúvida")

["Alexandre F. Terezan" <aleterezan@xxxxxxxxxxxxx>]

E pra quem gosta de fracoes contínuas:
           __
x = [1,1,3...], onde a0 = 1, a(2n+1) = 1  e  a(2n) = 3, n>0

[ ]'s, Alexandre Terezan

-----Mensagem Original-----
De: "Alexandre Tessarollo" <tessa@mail.com>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Quarta-feira, 14 de Novembro de 2001 20:23 Terezan
Assunto: Re: RES: IME (era: "Re:dúvida")




"M. A. A. Cohen" wrote:

> Oi Alexandre! Bom, acabei de comentar essa questao :)) Acho que o pessoal
> nao comentou pq a lista estava com problemas!

    Oops! Esqueci deste pequeno detalhe... Minhas desculpas a quem por
ventura
se sentiu ofendido de alguma forma...

>
> Quanto as suas observacoes, cabem alguns comentarios!
> A primeira solucao que vc coloca (divulgada pelo gpi) eh essencialmente
> identica a ´solucao do Poliedro´ (trocando y por f(x)).

    De fato é. Só que o Poliedro faz o trabalho sujo e o GPI pura e
simplesmente
"joga" um "é fácil ver" e pronto.

> A maioria dos alunos
> de ensino medio sabem ateh mais do que o que vc disse. Sabem que se vc tem
> uma bijecao de A em ACR e vc coloca os dois graficos num mesmo eixo, entao
> eles sao simetricos em relacao a bissetriz y=x e em particular soh podem
se
> encontrar sobre a reta.

    Hum... Isso validaria a solução do GPI, mas eu honestamente não me
lembro de
ter visto isto em nenhum livro de segundo grau. Se vc puder dar referências,
agradeço...

>
> Soh nao concordo que a segunda solucao esteja totalmente correta, embora a
> ideia seja legal.
> Nao me parece obvio, a principio, que a sequencia f(f(f( .. .f(x) ))) seja
> convergente (talvez ateh seja e eu nao esteja vendo o motivo direto). De
> fato, eh quase que imediato do enunciado que se a sequencia tiver sempre
um
> numero par de f´s, entao ela converge (de fato eh constante qdo x satisfaz
a
> equacao dada). Se tem um numero impar de f´s, ela tmb converge (tmb eh
> constante). Falta mostrar que esses dois valores sao iguais, e isso eh mto
> parecido com resolver o problema inicial.. Uma solucao feita desse jeito
> esta eh www.pensi.com.br

    Hum... É, o Pensi indicou o caminho bem. De fato a segunda solução (do
Planck) poderia ser mais clara...

>
> Vc vai inclusive notar varias semelhancas entre essa e a sua penultima
> solucao, pq essencialmente o problema final eh o mesmo.
> A sua ultima solucao eh bastante legal. Essa foi a solucao do curso Elite,
> que eu falei no ultimo email. Nao conheco esse professor que vc cita, mas
se
> nao me engano, essa solucao tambem foi dada em prova, por um aluno do
elite.

    Esse foi um professor meu no segundo grau. Tb escreveu um livro de
problemas
que recentemente foi mencionado aqui...

>
> t+
> Marcio

[]'s

Alexandre Tessarollo

>
>
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Alexandre
> Tessarollo
> Enviada em: quarta-feira, 14 de novembro de 2001 18:18
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: IME (era: "Re:dúvida")
>
> luis felipe wrote:
>
> > concordo com o alexandre
> >
> > a prova do IME deste ano foi bem elaborada, embora eu ache que duas
> questões
> > estavem pesadas demais para alunos de 2 grau( 7 e a 9) devemos lamentar
> > também uma falha grave no enunciado da questão 8
> >
> > valeu
> >
> > luis felipe
>
>     Já que ninguém comenta, comento eu. Comecemos pela questão 9.
>
> "Resolva a equação sqrt(5-sqrt(5-x))=x sabendo-se que x>0."
>
>     Eu já devo ter visto umas 4 soluções diferentes, mas em quase todas
> havia
> pelo menos um passo não justificado ou "questionável"... Uma delas era:
>
> Seja f(x) = sqrt(5-x). Temos f(f(x))=x. Logo,  f(x)=f^(-1)(x). Aí vem a
> parte "é
> fácil ver que" os gráficos de f(x) e de f^(-1)(x) se cruzam sobre a reta
> y=x. A
> partir daí, temos f(x)=x, resolve-se uma equação do segundo grau e pronto.
> Mas
> falta demonstrar a parte "é fácil ver"...
>
> Outra diz:
>
>     Aplicando f(x) nela mesma 2n vezes, com n tendendo ao infinito,
teremos
> f(f(f(f(....(f(x))...))))=x. Logo, podemos trocar todos os
> f(f(f...(f(x))...)))
> de "dentro" do primeiro "f" por "x". Assim teremos f(x)=x e novamente é só
> resolver a eq do segundo grau. A solução, olhando com carinho, está certa,
> mas
> foi utilizado o conceito de limite.
>
> Ainda há uma terceira, esta já sem erros mas um pouco mais longa. Trata-se
> da
> solução do Poliedro:
>
>     Como x>0 e real, temos que 0<x<5. Tome y=sqrt(5-x) (I). A equação
> original
> transforma-se em
> sqrt(5-y)=x (II)
>     Elevando I e II ao quadrado, temos:
> y^2=5-x    III
> x^2=5-y    IV
>     Fazendo III-IV, temos
> y^2-x^2=y-x
> (y+x)(y-x)=y-x
> (y+x)(y-x)-(y-x)=0
> (y-x)(y+x-1)=0
>
>     Segue que
> y-x=0    V
>
> OU
>
> y+x-1=0    VI
>
>     De V segue a nossa equação do segundo grau. Considerando o intervalo
> 0<x<5,
> só teremos uma resposta - a certa. Falta examinar VI. Substituindo-a em
III
> ou
> IV, teremos uma equação do segundo grau que resulta só uma resposta no
> intervalo
> 0<x<5. Contudo, como elevamos ao quadrado as eqs I e II p/chegarmos a III
e
> IV,
> precisamos verificar via teste se essas duas soluções servem ou não.
Fazendo
> isso só teremos a resposta correta...
>
> Há ainda uma resposta, esta feita pelo Prof. Raul Agostino:
>
>     Elevando a equação ao quadrado e arrumando, temos:
> 5-x=sqrt(5-x)
>
>     Elevando novamente, temos:
>
> 25-10x^2+x^2=5-x
>
>     O que todo mundo tenta daqui em diante é somar tudo num lado só,
chegar
> num
> polinômio do QUARTO grau e não conseguir resolvê-lo - ele não possui
raízes
> "óbvias", sequer inteiras... O pulo do gato segue abaixo, se vc não quiser
> ver,
> pare aqui..
>
> 10
>
> 9
>
> 8
>
> 7
>
> 6
>
> 5
>
> 4
>
> 3
>
> 2
>
> 1
>
> 0
>
> Bum!! Brincadeirinha... :0)
>
>     Olhando com MUITO carinho e MUITA boa vontade, podemos arrumar a
equação
> assim:
>
> 25-(2x^2+1)5+x^4+x=0
>
>     Um olho treinado verá uma equação do SEGUNDO grau em CINCO. Isso
mesmo,
> algo
> da forma a(5^2)+b(5)+c=0. Resolvendo, teremos:
>
> 5=(2x^2+1 +-sqrt(4x^4+4x^2+1-4x^4-4x))/2
> Dentro da raiz fica 4x^2+1-4x = (2x-1)^2. Tirando a raiz, deveríamos
colocar
> o
> módulo mas, como já existe o +-, basta colocar direto mesmo. Fica:
>
> 5=(2x^2+1 +-(2x-1))/2
>
>     Resolvendo e respeitando os intervalos, teremos a solução...
>
> []'s
>
> Alexandre Tessarollo