Re: Lugar Geométrico

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Wagner, Arnaldo,

Obrigado. Pra encerrar: quando falamos em
lg devemos ter duas coisas em mente:

i) todo ponto que satisfaz a condição deve pertencer
ao lg; e reciprocamente,

ii) todo ponto que pertence ao lg deve satisfazer a
condição.

É comum acharmos o lg a partir de ii) e esquecermos
de i). Ou seria i) e ii) ?

E eu me enrolei entre i) e ii). Ou seria ii) e i) ? Por isso a surpresa do
Wagner.

>> Seja O o centro de C e seja A sobre OM tal que MA = MO/3.
>> A eh fixo e AQ = OP/3 = R/3. (primeira resposta do Wagner).
>
> Se Q é tal que MQ = MP/3, então Q pertence ao lg.  OK pois os
> triângulos MAQ e MOP são semelhantes.
>
> Agora,
>
> Se Q pertence ao lg, então MQ = MP/3. Como provar sinteticamente?
>
Nao entendi bem qual eh a duvida. MQ = MP/3 eh hipotese. Se P percorre
a circunferencia de centro O e raio R, entao Q percorre sua homotetica
de centro M e razao 1/3.

Acho que nessa discussão ficou faltando a parte i). Poderíamos fazer
a seguinte pergunta: existe algum ponto Q que satisfaz a condição
e não pertence ao círculo homotético? Acho que existe uma
confusão entre achar o lg e justificar que o lg achado é o lg.
Tá meio enrolado mesmo

Dou um exemplo:

Qual o lg dos pontos Q distantes d da reta dada r?

|--------------------------------------------------
|
d
|
|------------------------------------------------------------------- r

Esta resposta não está completa pois falta a outra
reta paralela.

Acho que a primeira resposta do Wagner serve para
achar o lg (a partir de ii)). E a resposta da homotetia
serve para justificar o i), ou seja, não há nenhum
ponto fora do círculo homotético que satisfaz a
condição.

Uff, espero ter sido claro e não ter dito coisa errada.

Obrigado.

Um abraço,
Luís

-----Mensagem Original-----
De: Arnaldo <arnoldrjbr@ieg.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Quinta-feira, 25 de Outubro de 2001 09:46
Assunto: Re: Lugar Geométrico


> >Sauda,c~oes,
> >
> >Sejam M um ponto fixo no interior de um círculo C e P um ponto variando
> >na circunferência deste círculo.
> >
> >O lg dos pontos Q tais que MQ = MP/3 é um círculo.
> >
> >Alguém pode provar isso?
> >
> >Aplicação: sejam M=M_c e C o círculo circunscrito. Então G pertence ao
lg.
>
> >
> >Assim podemos resolver o seguinte problema: construa o triângulo
> >ABC dados o lado AB e a reta de Euler.
> >
> >[]'s
> >Luís
> >
> >A prova de que o lg de Q é um círculo é a seguinte:
> Fazendo uma homotetia de centro M a e razão -3 temos que o ponto
> Q é o homotético de P, como P percorre um círculo então Q também percorre
um
> círculo. Outra homotetia é as de centro M e razão 3 o que também fará de Q
homotético
> de P e o lg de Q será outra circunferência(c.q.d.).
> >