Re: Problemas

["David Daniel Turchick" <dturchic@xxxxxxxxxxxxxx>]

Olá.

1) Um triângulo existe se e só se a soma das medidas de dois lados quaisquer
for maior que a medida do outro lado. Como fixaremos o lado maior com
comprimento n, basta ver se a soma das medidas dos outros dois é > n. Um
pouquinho de experimentação (e usando a fórmula de soma de PA) deixa claro
que, se n for par, teremos n*(n+2)/4 triângulos, e se n for ímpar,
(n+1)*(n+1)/4. Do mesmo jeito, é fácil perceber que teremos n/2 triângulos
isósceles se n for par, e (n+1)/2 se n for ímpar. (i.e., eu não provei nada,
mas fazendo na força bruta p/ n= 2,3,4,5 fica muito claro o que vai
acontecer... Aliás, eu considerei que os outros lados podem medir n tb, se
não é isso, não muda muita coisa.)

2) Sejam o ângulo C reto, H o ponto de intersecção de EB com AG, I
intersecção de AC com EB e J intersecção de BC com AG (espero que seja
isso!). É suficiente mostrar que (ABC) = (ABI) + (ABJ), ou melhor, que (ABC)
+ (AIE) + (BGJ) = (ABE) + (ABG) (*). Sabemos que (ABE) = b^2/2, (ABG) =
a^2/2 e (ABC) = ab/2. Pelo critério AA de semelhança de triângulos, o
triângulo AIE é semelhante ao DEB, e como (DEB) = (a+b)b/2, (AIE) =
[(b/a+b)^2](a+b)b/2 = b^3/[2(a+b)]. Analogamente, (BGJ) = a^3/[2(a+b)], e é
só substituir em (*) p/ ver que dá certo.

inté,
David

-----Mensagem original-----
De: Fernanda Medeiros <femedeiros2001@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 14 de Outubro de 2001 17:13
Assunto: Problemas




    Olá pessoal,
Olhem só estes problemas:
1.Quantos triangulos diferentes ,de lados inteiros,podem ser construidos de
modo que o(s) lado(s) maior(es) tenha(m) 5cm de comprimento? E 6 cm? E n cm?
Em cada caso, quantos são isósceles?

2.AEDC e BCFG são quadrados sobre os catetos do triang. retangulo
ABC.Traçam-se as retas EB e AG.Prove que a área do triang. AHB é igual  à
área do quadrilátero CIHJ.

3.Sejam H o ortocentro to triang. ABC, não retangulo,e M o pnt médio do lado
BC.A circunferencia de diâmetro AM encontra a circunferencia circunscrita ao
ABC em um segundo ponto P.Mostre que P,H e M são colineares.

  Obrigada!
      FÊ

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