Re: 2 QUESTÕES

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Esta solução pode parecer bastante densa, mas tente acompanhar passo a passo
com papel e lápis ao lado. Há uma maneira mais informal de fazê-la, mas
enxerguei este jeito e fui até o final :)).
(I) f(n + f(n)) = 2f(n)
-> Como f é crescente e f : N*->N* , nota-se que f(n)>=n
Seja n0 o menor elemento de B. Logo, por (I), temos :
f(n0 + n0 + k) = 2n0 + 2k -> f(2n0 + k) = (2n0+k) + k
Logo, vemos que :
- Vamos provar por indução que 2^(g)n0 + (2^(g)-1)k pertence a B :
Para g = 1 está provado. Supondo provado para g e substituindo em (I), temos
: f(2^(g)n0 + (2^(g)-1)k + 2^(g)n0 + 2^(g)k) = 2^(g+1)n0 + 2^(g+1)k ->
f(2^(g+1)n0 + (2^(g+1)-1)k = 2^(g+1)n0 + 2^(g+1)k, o que prova o pedido.
- Analisemos um intervalo entre 2 elementos de B :
2^(g)n0 + (2^(g)-1)k < y < 2g+1n0 + (2^(g+1)-1)k
Como a < b -> f(a) < f(b), temos 2^(g)n0 + 2^(g)k < f(y) < 2^(g+1)n0 +
2^(g+1)k.
Nesse intervalo, temos o mesmo número de possibilidades para y e f(y), logo
afirmamos que f é bijetora. Se f(y) > y + k, para algum y, teríamos, para t
> y, mais possibilidades para t do que para f(t), o que contradiria f ser
estritamente crescente. Analogamente, provamos que não podemos ter para
nenhum y, f(y) < y + k. Daí, verificamos que f(y) = y + k satisfaz o pedido.
Resposta : f(n) = n + k, com k natural.

Villard


-----Mensagem original-----
De: Henrique Lima <santanahenrique@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 28 de Agosto de 2001 23:04
Assunto: 2 QUESTÕES


>OLÁ,
>Gostaria da ajuda de vcs nas seguintes questões:
>1.Os numeros positivos x,y e z são tais que:
>x=2y/1+y , y=2z/1+z e z=2x/1+x.
>prove q x=y=z
>2. Determine todas as funções estritamente crescentes f:N*->N* tais que
>f(n+f(n)=2f(n)
>  valeu!
>
>
>
>_________________________________________________________________
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>