RES: RES: Números...

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Nao muda mta coisa nao..So eh mais chato de escrever..
supondo a<b<c, vc conclui que 1<q<r<L. Logo, q^2>=4, r^2>=9 e L^2>=16.
Entao, n=(q^2+L^2+r^2)/2 >= 14.5.
Para descobrir o menor valor de n possivel, primeiro faca uma lista dos
primeiros quadrados:
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
Note que para o n ser natural precisamos pegar 3 quadrados sendo 0 ou 2
impares. Alem disso, resolvendo o sistema em a,b,c temos
a+b+c=(q^2+L^2+r^2)/2) (somando tudo) e entao c = (L^2+r^2-q^2)/2,
b=(L^2+q^2-r^2)/2, a=(q^2+r^2-L^2)/2.
Logo, dentre os 3 quadrados, a soma dos dois menores deve ser maior que o
outro.
A partir dai, minha ideia foi ir tentando 1 por 1 os possiveis valores de
q^2:
com 1 nao da certo, pois 1<n<m => 1+ n^2 < m^2.
com 4 tmb nao da, pois 4<n<m => 4+n^2 < m^2  (de fato, n<=m-1 => n^2 <=
m^2 -2m +1 < m^2-8+1 < m^2).
com 9 tmb nao da, pois 9<n<m => 9+n^2 <= m^2 (a igualdade eh apenas com o
9+16=25).
com o 16 ateh q da. temos 16+25>36, 16+36>49, e 16+49>64. mas ai n nao eh
inteiro.. nos outros casos, se 16 < n<m, entao 16+n^2 < m^2 (pra provar
isso,ou vc faz q nem no caso do 4 ou ve que 49-36<64-49<... e analisa os
casos possiveis rapidamente).
Com o 25, vc tem logo 25+36>49.
Portanto, o menos valor possivel para n eh n=(25+36+49)/2 = 55. (pq se 1,4,9
ou 16 for o valor de q^2 a gente ja viu que nao da certo. e se q^2>=25,
tem-se r^2>=36 e L^2>=49, donde n>=55).
Pra n=55 os valores sao a=6, b=19, c =30.
Espero nao ter esquecido nada...

Abracos,
Marcio



-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
Marcelo Souza
Enviada em: Sábado, 18 de Agosto de 2001 21:18
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: Números...


Esqueci de mencionar que a,b,c, são inteiros positivos distintos...


>From: "M. A. A. Cohen"
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To:
>Subject: RES: Números...
>Date: Thu, 16 Aug 2001 23:05:16 -0300
>
>a+b=q^2. a,b>=1 => q^2 >= 2 => q>1 => q^2 >=.4.
>Analogamente, b+c=l^2 e a+c=r^2 com l^2, r^2 >=4.
>Entao, n=(q^2+l^2+r^2)/2 >= (4+4+4)/2 = 6.
>Tomando a=b=c=2 vemos que n=6 eh de fato o menor n inteiro positivo de
forma
>que ....
>
>t+
>Marcio
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome
>de Marcelo Souza
> Enviada em: sexta-feira, 17 de agosto de 2001 19:05
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Números...
>
>
> Eu gostaria de ver as soluções para o problema:
> " Determine o menor inteiro positivo n tal que n = a + b + c, com a,b,c
>inteiros positivos, de forma que a + b, b + c, a + c sejam quadrados
>perfeitos"
> Obrigado
> []'s M.
>
>
>---------------------------------------------------------------------------
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>--
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