Re: Re: Vamos contar?

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

É verdade... foi só o detalhe de eu ter escrito que era um real... é que eu
escrevi pensando em outra coisa, mas a idéia é a mesma...
 Villard
-----Mensagem original-----
De: Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 16 de Agosto de 2001 03:05
Assunto: Re: Re: Vamos contar?


>Rodrigo, essa demonstraccao nao esta certa. O fato de A nao pertencer a
>Im(U), nao implica que a funccao U nao e' sobrejetiva, por que o conjunto X
>pode nem possuir um numero real! Voce adaptou a sua demonstraccao anterior,
>mas esqueceu que agora voce esta lidando com o conjunto X, e nao com os
>reais. Eu acho que voce quis dizer o seguinte:
>
>Suponha que existe uma bijeccao U: X->P(X). Construimos o conjunto A = {x
>pertence X| x nao pertence a U(x)}.
>
>Como a funccao U e' uma bijeccao, existe um x pertencente a X, tal que U(x)
>= A. Agora usamos a definiccao de A:
>- se x pertence a A, entao x nao pertence a U(x) = A, logo nao pertence a
A,
>absurdo!
>- se x nao pertence a A, entao x pertence a U(x) = A, logo pertence a A,
>novo absurdo!
>
>Ou seja, a suposiccao inicial de que existe uma bijeccao é falsa, e daí
>#P(X) > #X.
>
>Mas a sua idéia é simples e elegante! Eu nunca havia visto essa
>demonstraccao. Veja como eu demonstrei que existem infinitos "tipos" de
>infinitos.
>
>Seja F(X) = { f: X->X }, ou seja, F(X) é o conjunto de TODAS as funções de
X
>em X. Vou mostrar que #F(X) > #X.
>
>É trivial que #F(X) >= X. Temos que mostrar que nao vale a igualdade. Vou
>mostrar que nao existe uma função sobrejetora U: X->F(X) (uma função que
>assuma todos os valores de F(X)).
>
>Suponha que existe essa sobrejeção U: X->P(X). Sejam a e b dois elementos
>distintos de X. Para cada x pertencente a X, U(x) é uma função f_x : X->X.
>Consideremos a função u: X->X, definida por:
>- u(x) = a, se f_x(x) = b
>- u(x) = b, se f_x(x) é diferente de b
>A propriedade da função u é que ela assume um valor diferente de f_x, no
>ponto x. Logo a função u é diferente de todas as funções f_x, para qualquer
>x pertencente a X. Segue que U não é uma sobrejeção, um absurdo que
>demonstra que #F(X) > #X.
>
>Eduardo Casagrande Stabel.
>
>
>
>From: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
>> É verdade. Dado um conjunto X, mostramos que #(P(X)) > #(X). Vejamos :
>>  É trivial que #(P(X)) >= #(X) ( inclusão natural ). Basta mostrar que
não
>
>> vale a igualdade. Bem, como na minha outra mensagem, suponha que exista
um
>> bijeção U : X->P(X). Daí, considere o conjunto A = { y real ; y não
>pertence
>> a U(y) } ( obviamente A não é vazio ). Afirmação : A não pertence a
Im(U).
>> Suponha o contrário. Daí, existe t real, tal que U(t) = A.
>>  Se t pertence a A, pela definição de A, t não pertence a U(t) = A,
>> contradição.
>>  Se t não pertence a A, t não pertence a U(t), logo, pela definição de A,
>t
>> pertence a A, contradição. Daí, conclui-se que este t não existe. Logo, A
>> não pertence a Im(U). Com isso, temos que a função U não é sobrejetiva,
>> logo, não há bijeção de X em P(X), daí #(P(X)) > #(X).
>>  Abraços,
>>       ¡Villard!
>>
>>
>>
>> -----Mensagem original-----
>> De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Data: Quarta-feira, 15 de Agosto de 2001 08:35
>> Assunto: Re: Vamos contar?
>>
>>
>> >On Tue, Aug 14, 2001 at 05:19:15PM -0300, Bruno Mintz wrote:
>> >> Olá...
>> >>
>> >> Fiquei sabendo ontem de uma coisa muito divertida... :) Não sei se
>> >> "coisa" é uma palavra tão ruim assim, porque infinitos são mesmo
>> >> coisas(!) não muito bem definidas.  É o seguinte: para contar, por
>> >> exemplo, quantas bananas existem num cacho, eu associo um número
>natural
>> >> a uma das bananas e exatamente àquela banana o mesmo número, certo?
>> >> (Correspondência biunívoca.) Pergunta: quantos números naturais
>existem?
>> >> Infinitos... a gente sempre pode pôr mais um. Oquei... Quantos
>inteiros?
>> >> Bacana a resposta: tantos quantos os naturais... Basta associar a cada
>> >> inteiro um natural. E racionais? Idem.  E reais? Aí não é o mesmo: tem
>> >> mais...
>> >
>> >Isto que você descreve são cardinais infinitos, conforme estudados
>> >inicialmente por Cantor. Dois conjuntos X e Y tem o mesmo cardinal se
>> >existe uma bijeção entre eles; o cardinal de X é menor ou igual ao de Y
>> >se existir uma função injetora de X para Y, ou, equivalentemente,
>> >se existir uma função sobrejetora de Y para X.
>> >>
>> >> Para a quantidade de naturais, o professor usou a letra (hebraica)
>> >> "aleph" com o índice zero: A_0. Para a quantidade de reais, usou A_1 e
>> >> disse que é possível demostrar que existem infinitos tipos de
>infinitos!
>> >> Um maior que o outro! A_2, por exemplo, ele associou a alguma
>propriedade
>> >> do espaço funcional.
>> >
>> >Sinto muito contradizer seu professor, mas esta não é a notação usual.
>> >Aleph_0 é sempre o cardinal dos naturais mas Aleph_1 é por definição
>> >o cardinal seguinte. A hipótese do contínuo diz que o cardinal de R
>> >é Aleph_1; a hipótese do contínuo é independente dos axiomas usuais
>> >da teoria dos conjuntos e os especialistas discordam quanto a se ela
>> >deve ser considerada intuitivamente verdadeira ou falsa. Se uma
>> demonstração
>> >usa a hipótese do contínuo, esta hipótese deve ser claramente enunciada
>> >e surge naturalmente a questão se existe uma demonstração que não use
>> >a hipótese do contínuo.
>> >
>> >Algumas notações usualmente aceitas para o cardinal dos reais são
>> >2^{Aleph_0} e Beth_0 (Beth é a segunda letra do alfabeto hebraico).
>> >>
>> >> Pergunta: Quantos complexos há? Tantos quanto os reais? Mais?
>> >
>> >Existem exatamente tantos complexos quanto reais.
>> >Uma idéia ingênua é escrever parte real e parte imaginária
>> >como expansões decimais infinitas e intercalar os dígitos
>> >para obter um único número real que 'encodifica' os dois primeiros.
>> >O problema é que como 1.00000000... = 0.99999999...
>> >(conforme já foi bastante discutido nesta lista ;-))
>> >às vezes um número real admite duas expansões decimais.
>> >O problema é contornável de várias formas.
>> >
>> >> Como demostrar
>> >> que existem infinitos "tipos" de infinito?
>> >
>> >Você pode mostrar que nunca existe uma bijeção entre um conjunto X e
>> >P(X) = {Y | Y é subconjunto de X}. Mais, o cardinal de P(X) é sempre
>> >maior do que o de X.
>> >
>> >> (Talvez fosse interessante alguém
>> >> reproduzir a demonstração do que eu disse acima, porque eu não saberia
>> >> explicá-la bem. Se não me engano, o matemático que estudou isto foi
>> >> "Canton"(?), "Cantor"(?),...)
>> >>
>> >> Não sei se essas idéias podem sair da matemática pura (podem???),
>> >
>> >De onde mais?
>> >
>> >> mas todos temos, no mínimo, curiosidade quando falamos do infinito.
>> >
>> >Claro.
>> >
>> >[]s, N.
>> >
>>
>>
>
>