Re: Construção axiomática dos números

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

Vi como se constroem (em termos de conjuntos) os reais a partir dos 
racionais, os racionais a partir dos inteiros, e os naturais a partir do 
conjunto vazio. E os inteiros? como eu os construo dos naturais? (Qual é a 
melhor forma de "colocar sinal" usando conjuntos?).

Outra coisa: usando essas construções, não estaria errado eu falar que os 
naturais estão contidos nos inteiros, que estão contidos nos racionais, 
etc...? Afinal, o número real 1 é diferente do número racional 1.

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Construção axiomática dos números
>Date: Mon, 13 Aug 2001 09:40:46 -0300
>
>On Sun, Aug 12, 2001 at 05:09:56PM -0300, David Daniel Turchick wrote:
> > Será que alguém da lista poderia me sugerir um livro em que eu encontre 
>uma
> > construção axiomática dos números (em especial, dos conjuntos IN e IR)?
>
>A frase 'construção axiomática' é um pouco estranha, se você constrói
>o conjunto dos números naturais dentro da teoria dos conjuntos então
>você não precisa de axiomas novos, um número natural passa a ser um tipo
>especial de conjunto e os 'axiomas' de Peano passam a ser teoremas.
>
>A construção dos números naturais dentro da teoria dos conjuntos está
>em explicada em 'Naïve Set Theory', de Paul Halmos, UTM
>(sei que existe tradução mas o que eu tenho é o original em inglês).
>O 'handbook of mathematical logic' discute (entre várias outras coisas)
>os axiomas de Peano em lógica de primeira ordem. Aqui estamos indo para
>o lado dos teoremas de incompletude de Gödel, por exemplo, acho que não
>era esta a intenção da sua pergunta.
>
>Se por outro lado você está procurando uma descrição das propriedades
>fundamentais (axiomas?) dos números naturais e reais voltada para 
>estudantes
>de graduação e mestrado ou para matemáticos de outras áreas que não lógica 
>ou
>teoria dos conjuntos então você talvez os primeiros capítulos do livro
>de análise do Elon (curso de análise, vol 1, projeto Euclides)
>estejam mais próximos do que você procura.
>
>Finalmente, se você quer ver alguma matemática com menos de 50 anos
>o livro 'On Numbers and Games' de John Conway começa com a construção
>de uma classe de números muito ampla, os números surreais,
>que inclui como subclasses não apenas os naturais e reais mas também
>os ordinais e cardinais infinitos.
>
>[]s, N.


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